수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형을 \(R_1\) 이라 하자. 그림과 같이 \(R_1\) 의 한 꼭짓점과 정사각형 \(R_1\) 의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 \(R_2\) 라 하자. 정사각형 \(R_2\) 의 한 꼭짓점과 정사각형 \(R_2\) 의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 \(R_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 정사각형을 \(R_n\) 이라 하자. 정사각형 \(R_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n = \dfrac{a+b\sqrt{3}}{11}\) 이다. 이때 \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b\) 는 자연수이다.)

 

 

 

정답 \(9\)