수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 지름 \(\rm AB\) 의 길이가\(4\) 인 원이 있다. 두 선분 \(\rm AO, \; BO\) 를 각각 지름으로 하는 두 원을 그린 후, 이 두 원에 외접하며 원 \(\rm O\) 에 내접하는 두 원을 그린다. 이렇게 그린 네 원의 내분에 색을 칠하여 얻은 그림을 \(T_1\) 이라 하자. 그림 \(T_1\) 에서 원 \(\rm O\) 의 지름 \(\rm AB\) 와 만나는 두 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리고 새로 그려진 모든 원의 내부의 색을 지워 얻은 그림을 \(T_2\) 라 하자.

그림 \(T_2\) 에서 원 \(\rm O\) 의 지름 \(\rm AB\) 와 만나는 네 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리고 새로 그려진 모든 원의 내부에 색을 칠하여 얻은 그림을 \(T_3\) 이라 하자.

이와 같이 원을 그린 후 그 원의 내부에 색을 칠하고 지우는 과정을 교대로 반복하여 얻은 \(n\) 번째 그림을 \(T_n\) 이라 하자. 그림 \(T_n\) 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n\) 의 값은?

① \(\dfrac{44}{27}\pi\)          ② \(\dfrac{46}{27}\pi\)          ③ \(\dfrac{16}{9}\pi\)          ④ \(\dfrac{50}{27}\pi\)          ⑤ \(\dfrac{52}{27}\pi\)          

정답 ⑤