수학1_무한급수_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$ 인 정사각형 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1$ 에 대하여 점 ${\rm A}_{n+1}$, ${\rm B}_{n+1}$, ${\rm C}_{n+1}$, ${\rm D}_{n+1}$ 을 다음 조건을 만족시키도록 정한다. (단, $n=1, \;2, \;3, \cdots$ )

(가) 네 개의 삼각형 ${\rm A}_n {\rm B}_n {\rm A}_{n+1}$,  ${\rm B}_n {\rm C}_n {\rm B}_{n+1}$,  ${\rm C}_n {\rm D}_n {\rm C}_{n+1}$,  ${\rm D}_n {\rm A}_n {\rm D}_{n+1}$ 은

       두 내각의 크기가 $30^{\rm o}$ 로 같은 이등변삼각형이다.

(나) 네 점 ${\rm A}_{n+1}$, ${\rm B}_{n+1}$, ${\rm C}_{n+1}$, ${\rm D}_{n+1}$ 은 정사각형 ${\rm A}_n {\rm B}_n {\rm C}_n {\rm D}_n$ 의 내부에 있다.

 

네 개의 이등변 삼각형 ${\rm A}_n {\rm A}_{n+1} {\rm D}_{n+1}$,  ${\rm B}_n {\rm B}_{n+1} {\rm A}_{n+1}$,  ${\rm C}_n {\rm C}_{n+1} {\rm B}_{n+1}$,  ${\rm D}_n {\rm D}_{n+1} {\rm C}_{n+1}$ 의 넓이의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

 

① $18 \left ( 3 - \sqrt{3} \right )$             ② $18 \left ( \sqrt{3}-1 \right )$           ③ $18\sqrt{3}$

④ $18 \left ( \sqrt{3}+1 \right )$            ⑤ $18 \left ( 3 + \sqrt{3} \right )$          

 

 

정답 ②