수학1_무한급수_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 \(6\) 인 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 에 대하여 점 \({\rm A}_{n+1}\), \( {\rm B}_{n+1}\), \( {\rm C}_{n+1}\), \( {\rm D}_{n+1}\) 을 다음 조건을 만족시키도록 정한다. (단, \(n=1, \;2, \;3, \cdots\) )

(가) 네 개의 삼각형 \({\rm A}_n {\rm B}_n {\rm A}_{n+1}\),  \({\rm B}_n {\rm C}_n {\rm B}_{n+1}\),  \({\rm C}_n {\rm D}_n {\rm C}_{n+1}\),  \({\rm D}_n {\rm A}_n {\rm D}_{n+1}\) 은

       두 내각의 크기가 \(30^{\rm o}\) 로 같은 이등변삼각형이다.

(나) 네 점 \({\rm A}_{n+1}\), \( {\rm B}_{n+1}\), \( {\rm C}_{n+1}\), \( {\rm D}_{n+1}\) 은 정사각형 \({\rm A}_n {\rm B}_n {\rm C}_n {\rm D}_n\) 의 내부에 있다.

 

네 개의 이등변 삼각형 \({\rm A}_n {\rm A}_{n+1} {\rm D}_{n+1}\),  \({\rm B}_n {\rm B}_{n+1} {\rm A}_{n+1}\),  \({\rm C}_n {\rm C}_{n+1} {\rm B}_{n+1}\),  \({\rm D}_n {\rm D}_{n+1} {\rm C}_{n+1}\) 의 넓이의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

 

① \(18 \left ( 3 - \sqrt{3} \right )\)             ② \(18 \left ( \sqrt{3}-1 \right )\)           ③ \(18\sqrt{3}\)

④ \(18 \left ( \sqrt{3}+1 \right )\)            ⑤ \(18 \left ( 3 + \sqrt{3} \right )\)          

 

 

정답 ②