수악중독

그림과 같이 두 상수 $a\; (a>1), \; k$ 에 대하여 두 함수 $$y=a^{x+1}+1, \quad y=a^{x-3}-\dfrac{7}{4}$$ 의 그래프와 직선 $y=-2x+k$ 가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 점 $\mathrm{Q}$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=-a^{x+4}+\dfrac{3}{2}$ 의 그래프와 점 $\mathrm{R}$ 에서 만나고 $\overline{\mathrm{PR}}=\overline{\mathrm{QR}}=5$ 일 때, $a+k$ 의 값은? ① $\dfrac{13}{2}$ ② $\dfrac{27}{4}$ ③ $7$ ④ $\dfrac{29}{4}$ ⑤ $\dfrac{15}{2}$ 더보기 정답 ②

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f'(2)=0$ 인 이차함수 $f(x)$ 가 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\displaystyle \int_4^n f(x)dx \ge 0$$ 을 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f(2) \int_4^2 f(x)dx$ ㄷ. $6 \le \displaystyle \int_4^6 f(x)dx \le 14$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ③

모든 항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_n + 2n & (a_n \text{이 4의 배수인 경우}) \\[5pt] a_n+2n & (a_n \text{이 4의 배수가 아닌 경우})\end{cases}$$ 이다. (나) $a_3 > a_5$ $50 < a_4 + a_5 < 60$ 이 되도록 하는 $a_1$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은? ① $224$ ② $228$ ③ $232$ ④ $236$ ⑤ $240$ 더보기 정답 ②

방정식 $$\log_2 (x-2)=1+\log_4(x+6)$$ 을 만족시키는 실수 $x$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $10$ $\log_4 (x-2)^2 = log_4 4(x+6)$ $x^2-4x+4=4x+24$ $x^2-8x-20=0$ $(x-10)(x+2)=0$ $\therefore x=10$ ($\because$ 진수조건 $x>2$)

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=(x+2)f(x)$$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, \; 2)$ 에서의 접선의 기울기가 $4$ 일 때, $g'(3)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $22$ $g'(x)=f(x)+ (x+2)f'(x)$ 이고 $f(3)=2)$, $f'(3)=4$ 이므로 $g'(3)=f(3)+5 f'(3)=2+5\times 4 = 22$

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^{10}(a_k - b_k +2)=50, \; \sum \limits_{k=1}^{10}(a_k -2b_k)=-10$$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^{10}(a_k + b_k)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $110$

시각 $t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도가 각각 $$v_1(t)=12t-12, \quad v_2(t)=3t^2+2t-12$$ 이다. 시각 $t=k \; (k>0)$ 에서 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 위치가 같을 때, 시각 $t=0$ 에서 $t=k$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하시오. 더보기 정답 $102$

다향함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$2x^2f(x)=3 \displaystyle \int_0^x (x-t)\{ f(x)+f(t)\}dt$$ 를 만족시킨다. $f'(2)=4$ 일 때, $f(6)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $24$

그림과 같이 선분 $\mathrm{BC}$ 를 지름으로 하는 원에 두 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 와 $\mathrm{ADE}$ 가 모두 내접한다. 두 선분 $\mathrm{AD}$ 와 $\mathrm{BC}$ 가 점 $\mathrm{F}$ 에서 만나고 $$\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{DE}}=4, \quad \overline{\mathrm{BF}}=\overline{\mathrm{CE}}, \quad \sin ( \angle \mathrm{CAE} ) = \dfrac{1}{4}$$ 이다. $\overline{\mathrm{AF}}=k$ 일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $6$

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\begin{cases} x^3-8x^2+16x & (04) \end{cases}$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $g(10)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) $g \left (\dfrac{21}{2} \right )=0$ (나) 점 $(-2, \; 0)$ 에서 곡선 $y=g(x)$ 에 그은, 기울기가 $0$ 이 아닌 접선이 오직 하나 존재한다. 더보기 정답 $29$