삼차함수 그래프의 개형 & 접선의 방정식 & 미분가능성_난이도 상 (2023년 10월 전국연합 고3 22번)

 

 

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\begin{cases} x^3-8x^2+16x & (0<x \le 4) \\ f(x) & (x>4) \end{cases}$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $g(10)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

(가) $g \left (\dfrac{21}{2} \right )=0$

(나) 점 $(-2, \; 0)$ 에서 곡선 $y=g(x)$ 에 그은, 기울기가 $0$ 이 아닌 접선이 오직 하나 존재한다.

 

정답 $29$