그림과 같이 선분 $\mathrm{BC}$ 를 지름으로 하는 원에 두 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 와 $\mathrm{ADE}$ 가 모두 내접한다. 두 선분 $\mathrm{AD}$ 와 $\mathrm{BC}$ 가 점 $\mathrm{F}$ 에서 만나고 $$\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{DE}}=4, \quad \overline{\mathrm{BF}}=\overline{\mathrm{CE}}, \quad \sin ( \angle \mathrm{CAE} ) = \dfrac{1}{4}$$ 이다. $\overline{\mathrm{AF}}=k$ 일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오.
