수악중독

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB_1}}=\overline{\mathrm{AC_1}}=\sqrt{17}, \; \overline{\mathrm{B_1C_1}}=2$ 인 삼각형 $\mathrm{AB_1C_1}$ 이 있다. 선분 $\mathrm{AB_1}$ 위의 점 $\mathrm{B_2}$, 선분 $\mathrm{AC_1}$ 위의 점 $\mathrm{C_2}$, 삼각형 $\mathrm{AB_1C_1}$ 의 내부의 점 $\mathrm{D_1}$ 을 $\overline{\mathrm{B_1D_1}} = \overline{\mathrm{B_2D_1}} = \overline{\mathrm{C_1D_1}}=\overline{\mathrm{C_2D_1}}$, $\angle \mathrm{B_1D_1..

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 길이가 $2$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위에 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$ 가 되도록 잡고, 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AB}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\angle \mathrm{QAB}=2\theta$ 가 되도록 잡는다. 직선 $\mathrm{OQ}$ 가 원과 만나는 점 중 $\mathrm{Q}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{R}$, 두 선분 $\mathrm{PA}$ 와 $\mathrm{QR}$ 가 만나는 점을 $\mathrm{S}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{BOQ}$ 의 넓이를 $f(\theta)$..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\sin |\pi f(x)|$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 $x$ 축이 만나는 점의 $x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 와 자연수 $m$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=a_4$ 와 $x=a_8$ 에서 극대이다. (나) $f(a_m)=f(0)$ $f(a_k) \le f(m)$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 최댓값을 구하시오. 더보기 정답 $208$

타원 $\dfrac{x^2}{32}+\dfrac{y^2}{8}=1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $(a, \; b)$ 에서의 접선이 점 $(8, \; 0)$ 을 지날 때, $a+b$ 의 값은? ① $5$ ② $\dfrac{11}{2}$ ③ $6$ ④ $\dfrac{13}{2}$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③

좌표평면에서 벡터 $\overrightarrow{u} = (3, \; -1)$ 에 평행한 직선 $l$ 과 직선 $m:\dfrac{x-1}{7}=y-1$ 이 있다. 두 직선 $l, \; m$ 이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$ ② $\dfrac{\sqrt{14}}{5}$ ③ $\dfrac{4}{5}$ ④ $\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$ ⑤ $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ 더보기 정답 ⑤

포물선 $y^2=4px\; (p \gt 0)$ 의 초점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 직선이 포물선과 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 만날 때, 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C, \; D}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{BD}}=2:1$ 이고 사각형 $\mathrm{ACDB}$ 의 넓이가 $12\sqrt{2}$ 일 때, 선분 $\mathrm{AB}$ 의 길이는? (단, 점 $\mathrm{A}$ 는 제$1$사분면에 있다.) ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ①

공간에 선분 $\mathrm{AB}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{C}$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{H}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle \mathrm{AHB}=\dfrac{\pi}{2}$ (나) $\sin (\angle \mathrm{CAH} = \sin (\angle \mathrm{ABH}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 평면 $\mathrm{ABC}$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? (단, 점 $\mathrm{H}$ 는 선분 $\mathrm..

두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c \gt 0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 과 점 $\mathrm{A}(0, \; 6)$ 을 중심으로 하고 두 초점을 지나는 원이 있다. 원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 와 두 직선 $\mathrm{PF', \; AF}$ 가 만나는 점 $\mathrm{Q}$ 가 $$\overline{\mathrm{PF}}:\overline{\mathrm{PF'}}=3:4, \quad \angle \mathrm{F'QF}=\dfrac{\pi}{2}$$ 를 만족시킬 때, $b^2-a^2$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는..

좌표평면 위에 길이가 $6$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{C, \; D}$ 가 $$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=27, \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=9, \quad \overline{\mathrm{CD}} \gt 3$$ 을 만족시킨다. 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 와 상수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{DP}}-..

공간에 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구가 있다. 구 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 가 $$\overline{\mathrm{AB}}=8, \quad \overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{2}$$ 를 만족시킨다. 평면 $\mathrm{ABC}$ 위에 있지 않은 구 위의 점 $\mathrm{D}$ 에서 평면 $\mathrm{ABC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 $\mathrm{OC, \; OD}$ 가 서로 수직이다. (나) 두 직선 $\mathrm{AD, \; OH}$ 가 서로 수직이다. 삼각형 $\mathrm{DAH}$ ..