합성함수의 극대와 극소_난이도 상 (2023년 7월 전국연합 고3 미적분 30번)

 

 

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\sin |\pi f(x)|$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 $x$ 축이 만나는 점의 $x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 와 자연수 $m$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $g(x)$ 는 $x=a_4$ 와 $x=a_8$ 에서 극대이다.

(나) $f(a_m)=f(0)$

 

$f(a_k) \le f(m)$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 최댓값을 구하시오. 

 

정답 $208$