도형과 등비급수_난이도 중 (2023년 7월 전국연합 고3 미적분 27번)

 

 

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB_1}}=\overline{\mathrm{AC_1}}=\sqrt{17}, \; \overline{\mathrm{B_1C_1}}=2$ 인 삼각형 $\mathrm{AB_1C_1}$ 이 있다. 선분 $\mathrm{AB_1}$ 위의 점 $\mathrm{B_2}$, 선분 $\mathrm{AC_1}$ 위의 점 $\mathrm{C_2}$, 삼각형 $\mathrm{AB_1C_1}$ 의 내부의 점 $\mathrm{D_1}$ 을 $\overline{\mathrm{B_1D_1}} = \overline{\mathrm{B_2D_1}} = \overline{\mathrm{C_1D_1}}=\overline{\mathrm{C_2D_1}}$, $\angle \mathrm{B_1D_1B_2} = \angle \mathrm{C_1D_1C_2}=\dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡고, 두 삼각형 $\mathrm{B_1D_1B_2}$, $\mathrm{C_1D_1C_2}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 선분 $\mathrm{AB_2}$ 위의 점 $\mathrm{B_3}$, 선분 $\mathrm{AC_2}$ 위의 점 $\mathrm{C_3}$, 삼각형 $\mathrm{AB_2C_2}$ 의 내부의 점 $\mathrm{D_2}$ 를 $\overline{\mathrm{B_2D_2}}=\overline{\mathrm{B_3D_2}}=\overline{\mathrm{C_2D_2}}=\overline{\mathrm{C_3D_2}}$, $\angle \mathrm{B_2D_2B_3} = \angle \mathrm{C_2D_2C_3}=\dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡고, 두 삼각형 $\mathrm{B_2D_2B_3, \; C_2D_2C_3}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}S_n$ 의 값은?

 

 

① $2$          ② $\dfrac{33}{16}$          ③ $\dfrac{17}{8}$          ④ $\dfrac{35}{16}$          ⑤ $\dfrac{9}{4}$

 

정답 ③

 

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