수악중독

그림과 같이 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 점 $\mathrm{A}$ 에서 선분 $\mathrm{BD}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$ 라 하고, 직선 $\mathrm{CE}$ 가 선분 $\mathrm{AB}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{F}$ 라 하자. $\cos ( \angle \mathrm{AFC})=\dfrac{\sqrt{10}}{10}, \; \overline{\mathrm{EC}}=10$ 이고 삼각형 $\mathrm{CDE}$ 의 외접원의 반지름의 길이가 $5\sqrt{2}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{AFE}$ 의 넓이는? ① $\dfrac{20}{3}$ ② $7$ ③ $\dfrac{22}{3}$ ④ $\dfrac{23}{3}$ ⑤ $8$ 더보기 ..

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(-3)=f(0)$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\begin{cases} f(x) & (x \lt -3 \text{ 또는 } x \ge 0) \\ -f(x) & (-3 \le x \lt 0)\end{cases}$$ 이라 하자. 함수 $g(x)g(x-3)$ 이 $x=k$ 에서 불연속인 실수 $k$ 의 값이 한 개일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 $g(x)g(x-3)$ 은 $x=0$ 에서 연속이다. ㄴ. $f(-6) \times f(3)=0$ ㄷ. 함수 $g(x)g(x-3)$ 이 $x=k$ 에서 불연속인 실수 $k$ 가 음수일 때 집합 $\{ x | f(x)=0, \; x \text{ 는 실수}\}$ 의 모..

모든 항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 \lt 300$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{3}a_n & (\log_3 a_n \text{ 이 자연수인 경우}) \\ a_n +6 & (\log_3 a_n \text{ 이 자연수가 아닌 경우}) \end{cases}$$ 이다. $\sum \limits_{k=4}^7 a_k = 40$ 이 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 합은? ① $315$ ② $321$ ③ $327$ ④ $333$ ⑤ $339$ 더보기 정답 ④

방정식 $\log_2(x-5)=\log_4(x+7)$ 을 만족시키는 실수 $x$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $9$

함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(x)=9x^2-8x+1$ 이고 $f(1)=10$ 일 때, $f(2)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $20$

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^{10} (2a_k+3)=40, \quad \sum \limits_{k=1}^{10}(a_k - b_k)=-10$$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^{10} (b_k+5)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $65$

곡선 $y=x^3-10$ 위의 점 $\mathrm{P}(-2, \; -18)$ 에서의 접선과 곡선 $y=x^3+k$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에서의 접선이 일치할 때, 양수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $22$

실수 $t \; \left (\sqrt{3} \lt t \lt \dfrac{13}{4} \right )$ 에 대하여 두 함수 $$f(x)=\left | x^2-3 \right |-2x, \quad g(x)=-x+t$$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 네 점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; x_4$ 라 하자. $x_4-x_1=5$ 일 때, 닫힌구간 $[x_3, \; x_4]$ 에서 두 함수 $y=f(x), \; y=g(x)$ 의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는 $p-q\sqrt{3}$ 이다. $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $54$

그림과 같이 곡선 $y=2^{x-m}+n \; (m \gt 0, \; n \gt 0)$ 과 직선 $y=3x$ 가 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 만날 때, 점 $\mathrm{B}$ 를 지나며 직선 $y=3x$ 에 수직인 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{CA}$ 가 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하면 점 $\mathrm{D}$ 는 선분 $\mathrm{CA}$ 를 $5:3$ 으로 외분하는 점이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $20$ 일 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$ 의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm{B}$ 의 $x$ 좌표보다 작다.) 더보기 정..

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)-x-f(t)+t$$ 라 할 때, 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $h(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to -1} \{ h(t)-h(-1)\} = \lim \limits_{t \to 1} \{h(t)-h(1)\}=2$ (나) $\displaystyle \int_0^\alpha f(x) dx =\int_0^\alpha |f(x)| dx $ 를 만족시키는 실수 $\alpha$ 의 최솟값은 $-1$ 이다. (다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\dfrac{d}{dx} \displ..