수악중독

주머니에 숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4$ 가 하나씩 적혀 있는 흰 공 $4$ 개와 숫자 $4, \; 5, \; 6, \; 7$ 이 하나씩 적혀 있는 검은 공 $4$ 개가 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다. 주머니에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼내어 꺼낸 공이 서로 다른 색이면 $12$ 를 점수로 얻고, 꺼낸 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 두 공에 적힌 수의 곱을 점수로 얻는다. 이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 $24$ 이하의 짝수일 확률이 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $51$

매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=\dfrac{5t}{t^2+1}, \quad y=3 \ln \left (t^2 +1 \right )$$ 에서 $t=2$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 이 값은? ① $-1$ ② $-2$ ③ $-3$ ④ $-4$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ④

$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{2^{ax+b}-8}{2^{bx}-1}=16$ 일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 $0$ 이 아닌 상수이다.) ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ①

$x$ 에 대한 방정식 $x^2-5x+2 \ln x = t$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 실수 $t$ 의 값의 합은? ① $-\dfrac{17}{2}$ ② $-\dfrac{33}{4}$ ③ $-8$ ④ $-\dfrac{31}{4}$ ⑤ $-\dfrac{15}{2}$ 더보기 정답 ②

실수 $t \; (0

두 상수 $a\; (a>0), \; b$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a \times b$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{f(x)\}^2+2f(x)=a \cos^3 \pi x \times e^{\sin^2 \pi x}+b$$ 이다. (나) $f(0)=f(2)+1$ ① $-\dfrac{1}{16}$ ② $-\dfrac{7}{64}$ ③ $-\dfrac{5}{32}$ ④ $-\dfrac{13}{64}$ ⑤ $-\dfrac{1}{4}$ 더보기 정답 ②

세 실수 $a, \; b, \; k$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{A}(a, \; a+k), \; \mathrm{B}(b, \; b+k)$ 가 곡선 $C:x^2-2xy+2y^2=15$ 위에 있다. 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선과 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서의 접선이 서로 수직일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a+2k \ne 0, \; b+2k \ne 0$) 더보기 정답 $5$

수열 $\{a_n\}$ 은 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 을 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases} -1 & (a_n \le -1) \\ a_n & (a_n \gt -1) \end{cases}$$ 이라 할 때, 수열 $\{b_n\}$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty b_{2n-1}$ 은 수렴하고 그 합은 $-3$ 이다. (나) 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty b_{2n}$ 은 수렴하고 그 합은 $8$ 이다. $b_3=-1$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^\infty |a_n|$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $24$

한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 에 대하여 $$2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+p \overrightarrow{\mathrm{BC}}=q\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$ 일 때, $p-q$ 의 값은? (단, $p$ 와 $q$ 는 실수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 에서 $$\left ( \overrightarrow{\mathrm{AB}}+k \overrightarrow{\mathrm{BC}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}+3k \overrightarrow{\mathrm{CD}} \right )=0$$ 일 때, 실수 $k$ 의 값은? ① $1$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{1}{3}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{5}$ 더보기 정답 ②