세 양수 $a, \; b, \; k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)= \begin{cases} ax & (x \lt k) \\ -x^2+4bx-3b^2 & (x \ge k) \end{cases}$$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. $a=1$ 이면 $f'(k)=1$ 이다.
ㄴ. $k=3$ 이면 $a=-6+4\sqrt{3}$ 이다.
ㄷ. $f(k)=f'(k)$ 이면 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\dfrac{1}{3}$ 이다.
