수악중독

함수 $f(x)=x^4-2a^2x^2+b \; (a \ne 0)$ 는 $x=\alpha, \; x= \beta, \; x=\gamma$ 에서 극값을 갖고 $\mathrm{A}(\alpha, \; f(\alpha))$, $\mathrm{B}(\beta, \; f(\beta))$, $\mathrm{C}(\gamma, \; f(\gamma))$ 이라 하자. $\alpha < \beta < \gamma$ 을 만족시킬 때, 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\alpha + \gamma=0$ 이다. ㄴ. $a=3, \; b=10$ 일 때의 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이는 $a=4, \; b=1$ 일 때의 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이보다 크다. ㄷ. 실수 $k$ 에 ..

수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(3n+2)(5n+3)$ 을 $3$ 과 $5$ 로 나누어 떨어지지 않도록 하는 자연수 $n$ 을 작은 것부터 순서대로 나열한 수열이다. $\sum \limits_{k=1}^{32} a_k$ 의 값은? ① $972$ ② $974$ ③ $976$ ④ $978$ ⑤ $980$ 더보기 정답 ①

수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} 2a_n -2 & (a_n \ge n) \\ -4a_n + 3n & (a_n < n)\end{cases}$$ 을 만족시킨다. $a_3

$\log_3 162 - \log_3 6$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $3$ $ \log_3 162 - \log_3 6= \log_3 \dfrac{162}{6}=\log_3 27=\log_3 3^3=3\log_3 3 = 3$

다항함수 $f(x)$ 의 한 부정적분 $F(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$F(x)=xf(x)-2x^3+x^2-2$$ 를 만족시킨다. $f(0)=0$ 일 때, $f(2)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $8$

직선 $y=-\dfrac{1}{2}x+7$ 이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$, 두 함수 $y=\log_a(x-1)$, $y=\log_a(x-3)-1$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. $\mathrm{\overline{BP}=2\overline{AQ}}$ 일 때, $1$ 보다 큰 양수 $a$ 에 대하여 $a^3$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $7$

삼차함수 $f(x)=x^3-x^2+4$ 와 이차함수 $g(x)=ax^2+x+b$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 의 $x=-1$ 에서의 접선과 $y=g(x)$ 의 $x=-1$ 에서의 접선이 일치할 때, $g(1)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $4$

양수 $k$ 와 함수 $f(x)=x(x-k)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=6 \times \displaystyle \int_0^x (x-t)f(t)dt$$ 로 정의하자. 함수 $g(x)$ 의 극솟값이 $-27$ 일 때, $k^4$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $32$

그림과 같이 곡선 $y=2^x-1$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서 $x$ 축에 평행한 직선과 $y$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y=2^{2x}$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B, \; C}$, 직선 $\mathrm{AC}$ 가 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. 자연수 $k$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}}=k$ 라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^4 \dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\overline{\mathrm{AD}}}$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$ 의 $x$ 좌표는 $1$ 보다 크다.) 더보기 정답 $340$

삼차함수 $f(x)=x \left ( x^2 - 3 \right )$ 과 양의 실수 $t$ 에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x