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목록2020/10 (46)
수악중독
두 곡선 $y=2^{-x}$ 과 $y= | \log_2 x|$ 가 만나는 두 점을 $(x_1, \; y_1)$, $(x_2, \; y_2)$ 라 하자. $x_1 < x_2$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\dfrac{1}{2} < x_1 < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ㄴ. $\sqrt[3]{2} < x_2 < \sqrt{2}$ ㄷ. $y_1 - y_2 < \dfrac{3\sqrt{2}-2}{6}$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤
$\rm A, \; B$ 두 사람이 각각 $4$ 개씩 공을 가지고 다음 시행을 한다. $\rm A, \; B$ 두 사람이 주사위를 한 번씩 던져 나온 눈의 수가 짝수인 사람은 상대방으로부터 공을 한 개 받는다. 각 시행 후 $\rm A$ 가 가진 공의 개수를 세었을 때, $4$ 번째 시행 후 센 공의 개수가 처음으로 $6$ 이 될 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $135$
함수 $f(x)=\begin{cases} -3x^2 & (x
다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1} {}_n {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \;\; \cdots \cdots (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. $(\rm i)$ $n=1$ 일 때 (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다. $(\rm ii)$ $n=m$ 일 때 $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$\sum \limits_{k=1}^m \dfrac{(-1)^{k-1} {}_m {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k}$$ 이다. $n=m+1$ 일 때, $$\begin{align..
자연수 $n$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{nx}{x^n+1} & (x \ne -1) \\[10pt] -2 & (x=-1) \end{cases}$$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $n=3$ 일 때, 함수 $f(x)$ 는 구간 $(- \infty, \; -1)$ 에서 증가한다. ㄴ. 함수 $f(x)$ 가 $x=-1$ 에서 연속이 되도록 하는 $n$ 에 대하여 방정식 $f(x)=2$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. 구간 $(-1, \; \infty)$ 에서 함수 $f(x)$ 가 극솟값을 갖도록 하는 $10$ 이하의 모든 자연수 $n$ 의 값의 합은 $24$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ..
자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}_n(n, \; 0), \; {\rm B}_n(n, \; 3)$ 이 있다. 점 ${\rm P}(1, \; 0)$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 직선 ${\rm OB}_n$ 과 만나는 점을 ${\rm C}_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm PC}_n}}{\overline{{\rm OB}_n}-\overline{{\rm OA}_n}}= \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $5$
실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(0)=0, f(2)=1$ 이다. 그림과 같이 $0 \le x \le 2$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축 및 직선 $x=2$ 로 둘러싸인 두 부분의 넓이를 각각 $A, \; B$ 라 하자. $A=B$ 일 때, $\displaystyle \int_0^2 (2x+3) f'(x) dx$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $7$
세 명의 학생 $\rm A, \; B, \; C$ 에게 같은 종류의 빵 $3$ 개와 같은 종류의 우유 $4$ 개를 남김없이 나누어 주려고 한다. 빵만 받는 학생은 없고, 학생 $\rm A$ 는 빵을 $1$ 개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 우유를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) 더보기 정답 $37$
다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \; b, \; c$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c)$ 의 개수를 구하시오. (가) $a
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm C$ 에 대하여 $\rm \angle PAC = \theta$ 일 때, $\rm \angle APC = 2 \theta$ 이다. $\rm \angle ADC = \angle PCD = \dfrac{\pi}{2}$ 인 점 $\rm D$ 에 대하여 두 선분 $\rm AP$ 와 $\rm CD$ 가 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. 삼각형 $\rm DEP$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은 (단, $0 < \theta <..