수악중독

공차가 정수인 두 등차수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 >0$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(2a_n +1)(2b_n+1) = 4n^2 - 4n -3 $ 이다. $\sum \limits_{k=1}^{10} (3a_k + b_k)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $200$

함수 $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin ^2 x} $ 와 함수 $g(x)$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x^2} = 240$ 일 때, $\lim \limits_{x \to 0} f(2x) g \left ( \dfrac{x}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $30$

서로 다른 $9$ 개의 주사위를 동시에 던질 때, $n$ 개의 주사위만 $5$ 의 약수의 눈이 나올 확률을 $p_n\; (n=0, \; 1, \; 2, \; \cdots, \; 9)$ 라 하자. $\sum \limits_{k=0}^9 4^k p_k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $512$

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d, \; e$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d, \; e)$ 의 개수를 구하시오. (가) $|a-b| \le 2$ (나) $a+b+2c+2d+2e=10$ 더보기 정답 $126$

두 함수 $$f(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}, \; \; g(x) = \dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}$$ 이 있다. 양의 실수 $t$ 에 대하여 두 곡선 $y=f(x), \; \; y=g(x)$ 와 직선 $x=t$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표를 $h(t)$ 라 하자. (가) 점 $\rm P$ 는 $x$ 축 위에 있고, $x $ 좌표는 양수이다. (나) 점 $\rm P$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 직선과 곡선 $y=\{f(x)-g(x)\} \ln \left (x^2 +1 \right ) $ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $S(t)$ 이다. 양수 $\alpha $ 가 $h(\alpha..