수악중독

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1} {}_n {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \;\; \cdots \cdots (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. $(\rm i)$ $n=1$ 일 때 (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다. $(\rm ii)$ $n=m$ 일 때 $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$\sum \limits_{k=1}^m \dfrac{(-1)^{k-1} {}_m {\rm C}_k}{k} = \sum \limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k}$$ 이다. $n=m+1$ 일 때, $$\begin{align..

자연수 $n$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{nx}{x^n+1} & (x \ne -1) \\[10pt] -2 & (x=-1) \end{cases}$$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $n=3$ 일 때, 함수 $f(x)$ 는 구간 $(- \infty, \; -1)$ 에서 증가한다. ㄴ. 함수 $f(x)$ 가 $x=-1$ 에서 연속이 되도록 하는 $n$ 에 대하여 방정식 $f(x)=2$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. 구간 $(-1, \; \infty)$ 에서 함수 $f(x)$ 가 극솟값을 갖도록 하는 $10$ 이하의 모든 자연수 $n$ 의 값의 합은 $24$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ..

자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}_n(n, \; 0), \; {\rm B}_n(n, \; 3)$ 이 있다. 점 ${\rm P}(1, \; 0)$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 직선 ${\rm OB}_n$ 과 만나는 점을 ${\rm C}_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm PC}_n}}{\overline{{\rm OB}_n}-\overline{{\rm OA}_n}}= \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $5$

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(0)=0, f(2)=1$ 이다. 그림과 같이 $0 \le x \le 2$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축 및 직선 $x=2$ 로 둘러싸인 두 부분의 넓이를 각각 $A, \; B$ 라 하자. $A=B$ 일 때, $\displaystyle \int_0^2 (2x+3) f'(x) dx$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $7$

세 명의 학생 $\rm A, \; B, \; C$ 에게 같은 종류의 빵 $3$ 개와 같은 종류의 우유 $4$ 개를 남김없이 나누어 주려고 한다. 빵만 받는 학생은 없고, 학생 $\rm A$ 는 빵을 $1$ 개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 우유를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) 더보기 정답 $37$