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목록2020/10 (46)
수악중독
수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+2} = \begin{cases} 2a_n +a_{n+1} & (a_n \le a_{n+1}) \\ a_n + a_{n+1} & (a_n > a_{n+1}) \end{cases}$$ 를 만족시킨다. $a_3 =2, \; a_6=19$ 가 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 합은? ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{1}{4}$ ③ $0$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ②
방정식 $x^3 -x^2 -8x+k=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 일 때, 양수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $12$
함수 $f(x)=-x^2 -4x+a$ 에 대하여 $$g(x) = \displaystyle \int_0^x f(t) dt$$ 가 닫힌구간 $[0, \;1]$ 에서 증가하도록 하는 실수 $a$ 의 최솟값을 구하시오. 더보기 정답 $5$
어느 지역 신생아의 출생 시 몸무게 $X$ 가 정규분포를 따르고 $${\rm P}(X \ge 3.4)=\dfrac{1}{2}, \; \; {\rm P}(X \le 3.9) +{\rm P}(Z \le -1) =1 $$ 이다. 이 지역 신생아 중에서 임의추출한 $25$ 명의 출생 시 몸무게의 표본평균을 $\overline{X}$ 라 할 때, ${\rm P} \left (\overline{X} \ge 3.55 \right )$ 의 값을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 몸무게의 단위는 $\rm kg$ 이고, $Z$ 는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) ① $0.0062$ ② $0.0228$ ③ $0.0668$ ④ $0.1587$ ⑤ $0.3413$ 더보기 정답 ③
열린구간 $\left ( -\dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 함수 $$f(x) = \ln \left (\dfrac{\sec x + \tan x}{a} \right )$$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하자. $\lim \limits_{x \to -2} \dfrac{g(x)}{x+2} = b$ 일 때, 두 상수 $a, \; b$ 의 곱 $ab$ 의 값은? (단, $a>0$) ① $\dfrac{e^2}{4}$ ② $\dfrac{e^2}{2}$ ③ $e^2$ ④ $2e^2$ ⑤ $4e^2$ 더보기 정답 ③
모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $x$ 축 위의 점 $ {\rm P}_n$ 과 곡선 $y=\sqrt{3x}$ 위의 점 ${\rm Q}_n$ 이 있다. (가) 선분 ${\rm OP}_n$ 과 선분 ${\rm P}_n {\rm Q}_n$ 이 서로 수직이다. (나) 선분 ${\rm OQ}_n$ 과 선분 ${\rm Q}_n {\rm P}_{n+1}$ 이 서로 수직이다. 다음은 점 $\rm P_1$ 의 좌표가 $(1, \; 0)$ 일 때, 삼각형 ${\rm OP}_{n+1} {\rm Q}_n$ 의 넓이 $A_n$ 을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm P}_n$ 의 좌표를 $(a_n, \; 0)$ 이라 하자. $\overline..
어느 고등학교에는 $5$ 개의 과학 동아리와 $2$ 개의 수학 동아리 $\rm A, \; B$ 가 있다. 동아리 학술 발표회에서 이 $7$ 개 동아리가 모두 발표하도록 발표 순서를 임의로 정할 때, 수학 동아리 $\rm A$ 가 수학 동아리 $\rm B$ 보다 먼저 발표하는 순서로 정해지거나 두 수학 동아리의 발표 사이에는 $2$ 개의 과학 동아리만이 발표하는 순서로 정해질 확률은? (단, 발표는 한 동아리씩 하고, 각 동아리는 $1$ 회만 발표한다.) ① $\dfrac{4}{7}$ ② $\dfrac{7}{12}$ ③ $\dfrac{25}{42}$ ④ $\dfrac{17}{28}$ ⑤ $\dfrac{13}{21}$ 더보기 정답 ③
함수 $$ f(x) = \begin{cases} 0 & (x \le 0) \\ \left \{ \ln \left ( 1+x^4 \right ) \right \}^{10} & (x>0) \end{cases}$$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x f(t) f(1-t) dt$$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $x \le 0$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x)=0$ 이다. ㄴ. $g(1) = 2 g \left ( \dfrac{1}{2} \right ) $ ㄷ. $ g(a) \ge 1$ 인 실수 $a$ 가 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ②
집합 $X=\{ 1, \; 2, \; 3, \; 4\}$ 의 공집합이 아닌 모든 부분집합 $15$ 개 중에서 임의로 서로 다른 세 부분집합을 뽑아 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 $A, \; B, \; C$ 라 할 때, $A \subset B \subset C$ 일 확률은? ① $\dfrac{1}{91}$ ② $\dfrac{2}{91}$ ③ $\dfrac{3}{91}$ ④ $\dfrac{4}{91}$ ⑤ $\dfrac{5}{91}$ 더보기 정답 ②