수악중독

두 부등식 \[ \log _2 y \ge 2\log _2 x,\;\;\; y\le -x+6\] 을 동시에 만족시키는 좌표평면 위의 점 \((x,\;y)\) 에 대하여 \(2x-y\) 의 최댓값을 \(M\) 이라고 할 때, \(10M^2\) 의 값을 구하시오. 정답 10

그림과 같이 길이가 \(24\) 인 선분 \(\rm AB_1 \) 을 \(2:1\) 로 외분하는 점을 \(\rm C_1 \) 이라 하고, 선분 \(\rm B_1 C_1 \) 을 \(1:4\) 로 외분하는 점을 \(\rm B_2\) 라 한다. 또, 선분 \(\rm AB_2\) 를 \(2:1\) 로 외분하는 점을 \(\rm C_2 \) 라 하고, 선분 \(\rm B_2 C_2\) 를 \(1:4\) 로 외분하는 점을 \(\rm B_3 \) 이라 한다. 이와 같은 방법으로 \(\rm B_4 ,\;B_5 , \; \cdots\) 을 만들어 갈 때, 무한급수 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\overline {{\rm{A}}{{\rm{B}}_n}} } \) 의 합을 구하시오. 정답 72

수열 \(\left \{ a_n \right \}\) 이 \(a_1 = {\dfrac {2^2 +1}{2^2 -1}},\;\;\;a_2 = {\dfrac{3^2+1}{3^2-1}},\;\;\;a_3 = {\dfrac{4^2+1}{4^2-1}},\;\;\;a_4 = {\dfrac{5^2+1}{5^2-1}},\;\;\;\cdots \) 일 때, \(\sum\limits_{k = 1}^{10} {{a_k} - \left[ {\sum\limits_{k = 1}^{10} {{a_k}} } \right]} \) 의 값은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① \(\dfrac{43}{132}\) ② \(\dfrac{41}{132}\) ③ \(\dfrac{13}{44}\) ④ \(..

\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 다항식 \( 30 x^{2n-2} +x^{n-1} \) 을 \(2x-1\) 로 나누었을 때의 나머지를 \(R_n\) 이라 할 때, 무한급수 \(R_2 +R_3 +R_4 + \cdots \) 의 값을 구하시오. 정답 11

\(xy \ne 1\) 인 두 양의 실수 \(x,\;y\) 에 대하여 \(x^a = y^b =xy\) 를 만족하는 \(a,\;b\) 가 있다. 이 때, \(\dfrac{a^2 b^2 -a^2 -b^2}{a+b} \) 의 값은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ⑤

\(X=\left\{1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6\right\}\)의 공집합이 아닌 부분집합 중 연속하는 두 수를 포함하지 않는 것의 개수는? ① 10 ② 15 ③ 20 ④ 25 ⑤ 30 정답 ③

아래 그림과 같이 정육면체의 상자를 3개의 끈을 사용하여 각 모서리의 중점을 지나도록 십자로 묶었다. 꼭짓점 \(\rm A\)에서 상자의 모서리 또는 끈을 지나 꼭짓점 \(\rm B\)로 가는 최단 경로의 수는? (단, 끈의 매듭은 무시한다.) ① \(28\) ② \(36\) ③ \(54\) ④ \(72\) ⑤ \(90\) 정답 ③

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. 지나간 길은 다시 지나지 않으면서 \(\rm P\) 지점에서 \(\rm Q\) 지점을 거쳐 \(\rm R\) 지점으로 가는 서로 다른 방법의 수는? (단, 가는 길은 왼쪽에서 오른쪽으로 도로를 따라 이동하며, 최단 거리일 필요는 없다.) ① \(243\) ② \(324\) ③ \(405\) ④ \(445\) ⑤ \(486\) 정답 ③

오른쪽 그림과 같이 \(1\)부터 \(9\)까지 쓰여 있는 정사각형 모양의 숫자판이 있다. 다음과 같은 조건에 따라 숫자판 내의 \(9\)개의 정사각형을 모두 지나는 방법의 수는? (가) 변을 공유하는 이웃한 정사각형으로만 이동할 수 있다. (나) 이미 지난 정사각형으로는 이동할 수 없다. ① \(32\) ② \(36\) ③ \(40\) ④ \(48\) ⑤ \(56\) 정답 ③

자연수 \(n\) 에 대하여 \(5^n\) 을 분모라 하는 기약분수 중에서 \(1\) 과 \(2\) 사이에 있는 수들의 합을 \(T_n\) 이라 하자. 예를 들면, \(T_1 = {\dfrac{6}{5}}+ {\dfrac{7}{5}}+ {\dfrac{8}{5}}+ {\dfrac{9}{5}} = 6\) 이다. 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} {\dfrac{1}{T_n}} = {\dfrac {b}{a}} \) 일 때, 상수 \(a, \;b\) 의 합 \(a+b\) 의 값은? (단, \(a,\; b\) 는 서로소인 자연수이다.) ① \(28\) ② \(29\) ③ \(30\) ④ \(31\) ⑤ \(32\) 정답 ②