수악중독

어느 신도시의 도로망은 아래 그림과 같이 정사각형 모양으로 이루어져 있다고 한다. 도현이는 \(\rm A\)지점에서 \(\rm B\)지점으로, 슬기는 \(\rm B\)지점에서 \(\rm A\)지점으로 최단 거리를 택하여 간다고 할 때, 도현이와 슬기가 만나지 않고 각자의 목적지에 도착하는 경우의 수는? (단, 도현이와 슬기의 속력은 같다.) ① \(20\) ② \(180\) ③ \(236\) ④ \(380\) ⑤ \(390\) 정답 ③

아래 그림과 같이 원 \(\rm O_1 , \;\; O_2 , \;\; O_3 , \;\; \cdots\) 은 서로 외접하면서 두 직선 \(y=3x,\;\; y= {\dfrac{1}{3}} x \) 에 접한다. 원 \(\rm O_1\) 의 중심의 좌표는 \(\left ( \sqrt {10} ,\; \sqrt{10} \right ) \) 이고, 원 \(\rm O_{\it n}\) 의 반지름의 길이를 \(r_n\) 이라 할 때, 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} \sqrt {r_n} = a\sqrt{2} +b \sqrt {10} \) 이다. 이 때, 두 유리수 \(a,\; b\) 에 대하여 \(a+b\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{3}{2}\) ③ \(2\) ..

다음 표와 같이 윗줄에는 수열 \(\{a_n\}\) 이 나열되고 있고, 아랫줄에는 짝수가 나열되어 있다. \[a_1\] \[a_2\] \[a_3\] \[a_4\] \[a_5\] \[\cdots\] \[p\] \[q\] \[\cdots\] \[2\] \[4\] \[6\] \[8\] \[10\] \[\cdots\] \[r\] \[s\] \[\cdots\] 임의의 사각형 모양으로 네 수 \(p,\;q,\;r,\; s\) 를 잡으면 \(ps-qr=400\) 이 성립한다. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{a_n}{n}} \) 의 값은? (단, \(a_1 =3\) ) ① \(-200\) ② \(-197\) ③ \(0\) ④ \(197\) ⑤ \(200\) 정답 ②

\(6\rm L\) 의 파인애플 주스가 들어 있는 음료수 병 \(\rm P\)와 아무 것도 들어 있지 않는 음료수 병 \(\rm Q\) 가 있다. 첫 번째 시행으로 \(\rm P\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 \(\rm Q\) 로 옮긴 다음, \(\rm Q\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 \(\rm P\) 에 다시 옮긴다. 두 번째 시행으로 \(\rm P\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{4}\) 을 \(\rm Q\) 로 옮긴 다음, \(\rm Q\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{5}\) 을 \(\rm P\) 에 다시 옮긴다. 이와 같이 \(\rm P\) 에서 \(\rm Q\) 로, \(\rm Q\) 에서 \(\rm P\)..

수직선 위에 두 점 \({\rm A}_1 (a) , \;\; {\rm A}_2 (b) \) 에 대하여 \(\overline {\rm A_1 A_2}\) 를 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_3\), \(\overline {\rm A_2 A_3} \) 을 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_4 , \cdots\) 와 같이 무한히 점을 잡아나갈 때, 점 \({\rm A}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(x_n\) 이라 하자. 이 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} x_n \) 의 값은? ① \(\dfrac{a+b}{2}\) ② \(\dfrac{a+2b}{3}\) ③ \(\dfrac{a+3b}{4}\) ④ \(\dfrac{a+4b}{5}\) ⑤ \(\dfrac{..

행렬 \(A\) 가 \(A \left ( \matrix {1 \cr 0 } \right ) = 3 \left ( \matrix {1 \cr 0 } \right ), \;\; A \left ( \matrix {1 \cr 1} \right ) = 5 \left ( \matrix {1 \cr 1} \right ) \) 을 만족할 때, \(A^n\) 의 모든 성분의 합은? (단, \(n\) 은 자연수이다.) ① \(5^n -3^n\) ② \(3^n\) ③ \(5^n\) ④ \(2 \cdot 3^n\) ⑤ \(2 \cdot 5^n\) 정답 ⑤

연속하는 \(2n+1\) 개의 자연수 \(a_1 ,\;a_2 , \; a_3 ,\; \cdots , \; a_{2n+1} \) 에 대하여 \[ a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_{n+1} ^2 = a_{n+2} ^2 + a_{n+3} ^2 + \cdots + a_{2n+1} ^2 \] 이 성립하는 수열이 존재한다. 예를 들어, 연속하는 \(5\)개의 자연수 \(10,\; 11,\; 12,\; 13,\; 14\) 에 대하여 \(10^2 +11^2 +12^2 = 13^2 +14^2\) 이 성립한다. 위 식이 성립하는 연속하는 \(15\) 개의 자연수로 이루어진 수열에서 첫째항은? ① \(105\) ② \(107\) ③ \(109\) ④ \(111\) ⑤ \(113\) 정답 ①

규리는 장난감 블록을 이용하여 다음 그림과 같은 형태의 집모양을 1층 집부터 차례로 만들려고 한다. 두 가지의 서로 다른 색깔의 블록이 각각 500개씩 일 때, 규리는 1층 집부터 \(k\) 층 집까지 완성할 수 있고, 이 때 서로 다른 색깔의 블록이 각각 \(m\) 개, \(n\) 개 남는다고 한다. \(k+m+n\) 의 값을 구하시오. 정답 240

자연수 \(n\) 에 대하여 네 부등식 \(x>0,\;\;y>0,\;\;y\le x^2 ,\;\; y\le -x+n\) 을 모두 만족하는 영역 안에 있는 점 중에서 \(x,\;y\) 의 좌표가 모두 정수인 순서쌍 \((x,\;y)\) 의 개수를 \(I_n\) 이라 하자. 이 때, \(I_{90} +I_{99}\) 의 값은? ① \(7815\) ② \(7817\) ③ \(7819\) ④ \(7821\) ⑤ \(7823\) 정답 ①

네 점 \((2n,\;0),\;\;(2n+1,\;0),\;\;(2n+1,\;1),\;\;(2n,\;1)\) 을 꼭짓점으로 갖는 정사각형을 \(D_n\) 이라 한다. 다음 그림의 어두운 부분과 같이 원점과 \((2n,\;1)\) 을 연결한 선분의 아래에 있는 정사각형 \(D_0 ,\;\;D_1 ,\;\; \cdots ,\;\; D_{n-1} \) 의 어두운 부분의 넓이의 합은? (단, \(n=0,\;1,\;2,\; \cdots \) 이다.) ① \( {\dfrac{n}{2}} - {\dfrac{1}{4}}\) ② \( {\dfrac{n}{2}} - {\dfrac{1}{2}}\) ③ \( {\dfrac{n}{3}} \) ④ \( {\dfrac{n-1}{2}} - {\dfrac{1}{4}}\) ⑤ \( {\d..