수악중독

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(_n{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _n}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _n}{{\rm{C}}_3} + \cdots + n{ \cdot _n}{{\rm{C}}_n} = n \cdot {2^{n - 1}}\) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, (좌변)\({ = _1}{{\rm{C}}_1} = 1\), (우변)\(=2^0 =1\) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ii) \(n=k\) 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 \[_k{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _k}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _k}{{\rm{C}}_3} + \cdots + k{ \cdot _k}{{\r..

\(n\ge 2\) 인 모든 자연수 \(n\) 에 대하여\[\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{8}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=2\) 일 때, \({\dfrac{3}{8}} > (가) \) 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (2) \(n=k\;\;(k\ge 2)\) 일 때, \[\left( {1..

자연수 \(t\) 에 대하여 \({H_i} = 1 + {\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{3}} + \cdots + {\dfrac{1}{i}}\) 이라 할 때, 다음은 부등식 \[H_{2^n} \ge 1+ { \frac{n}{2}} \;\; (n=0,\;1,\;2,\;\cdots)\;\; \cdots\cdots \; ㉠ \] 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=0\) 일 때, (좌변)\(= H_{2^0} = H_1 = (가)\) (우변) \(=1+{\dfrac{0}{2}} = 1\) 그러므로 ㉠이 성립한다. (ii) \(n=k\) 일 때, \(H_{2^k} \ge 1+ {\dfrac{k}{2}}\) 가 성립한다고 가정하면 \(H_{2^{k+1}} =1+{\dfrac{..

다음은 임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n >0\) 이고 \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 이면 \( a_n = (가) \) 임을 증명하는 과정이다. 임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n >0\) 이고 \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{l=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 이므로 \(a_{k+1}^{3} = \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_{i}^{3} - \sum \limits _{i=1}^{k} a_{i}^{3} \) \(= \left ( \sum \li..

수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 =1,\;\; a_n + a_{n+1} = (-1)^n \log {\dfrac{n+1}{n}} \;\; (n=1, \; 2, \; 3, \; \cdots) \) 로 정의될 때, \( a_{100}\) 의 값은? ① \(-3\) ② \(-2\) ③ \(-2+\log 2\) ④ \(-\log 3\) ⑤ \(-\log 2\) 정답 ①

\(10\%\) 의 소금물 \(100 \rm g\) 이 들어 있는 용기 \(A\)와 \(5\%\) 의 소금물이 충분히 들어 있는 용기 \(B\) 가 있다. \(A\) 용기에서 소금물 \(20\rm g\) 을 퍼내고, \(B\) 용기에서 소금물 \(20 \rm g\) 을 퍼내어 \(A\) 용기에 넣는 시행을 \(n\) 번 반복했을 때의 \(A\) 용기에 들어 있는 소금물 의 농도를 \(a_n \%\) 라고 하자. \(a_n = p \left ( {\dfrac{4}{5}} \right )^{n-1} +q\) 를 만족하는 상수 \(p,\;q\) 의 곱 \(pq\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \; q\) 는 자연수이다.) 정답 20 [수능 수학/수능수학] - 점화식 정리

다음과 같은 방법으로 \( z_n \) 과 \( C_n\) 을 정의한다. (가) 자연수 \(n\) 에 대하여 \(x,\;y\) 두 개의 문자로 이루어진 문자열 \(z_n\) 을 다음과 같이 정의한다. \( z_1 = x\) \(z_{n+1} \) 은 \(z_n\) 에 있는 문자 \(x\) 는 \( yx\) 로, \(y\) 는 \(xx\) 로 변환하여 얻는다. 예를 들면, \(z_1 = x\) 이므로 \(z_2 = yx,\; z_3 = xxyx\) 이다. (나) 두 이차정사각행렬 \(A,\;B\) 에 대하여 \(C_n\) 은 (가)의 \(z_n\) 에서 \(x\) 는 \(A\) 로, \(y\) 는 \( B\) 로 바꾼 행렬의 곱으로 정의한다. 이 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(z_4 = ..

다음과 같이 수가 증가하는 컴퓨터 바이러스가 있다. 각 단계마다 각 개체는 다른 개체와는 독립적으로 \(p\) 의 확률로 \(1\) 개, \(1-p\) 의 확률로 \(2\) 개의 새로운 개체를 다음 단계로 남기고 자신은 소멸된다. 예를 들면, 다음은 \(1\) 개체가 제 \(0\) 단계에서 시작하여 제 \(4\) 단계에 바이러스가 \(4\) 개체가 된 경우 중 하나를 나타낸 것이다. 지금 컴퓨터에 침입한 바이러스 \(1\) 개체가 제 \(0\) 단계에서 시작하여 제 \(n\) 단계에 \(m\) 개의 개체일 확률을 \({\rm P}_n (m)\) 이라고 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{{\rm P}_n (2)}{p^n}}\) 의 값은? (단, \(0

이차정사각행렬 \(A\) 에 대하여 \[ A \left ( \matrix {4 \cr 1} \right ) = \left ( \matrix { 5 \cr 1} \right ),\;\; A \left ( \matrix { 3 \cr 1} \right ) = \left ( \matrix {4 \cr 1} \right ) \] 을 만족할 때, 행렬 \(A^{100}\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. 정답 102

다음 그림과 같이 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위에 동점 \(\rm P\) 가 있다 선분 \(\rm AP\) 를 지름으로 하는 반원의 원주 위에 \(\overline{\rm PB} = \overline {\rm PQ}\) 인 점 \(\rm Q\) 를 잡고, 점 \(\rm Q\) 에서 선분 \(\rm AP\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm R\) 이라 한다. \(\overline {\rm BP} =x\) 라 할 때, \(\lim \limits _{x \to \infty} {\Large \frac{\overline {\rm AR}}{\overline {\rm AB}}}\) 의 값은? (단, 점 \(\rm P\) 는 점 \(\rm B\) 에 대하여 점 \(\rm A\) 의 반대쪽에 있다.) ① \(2..