수악중독

\(z\) 축을 포함하는 평면 \(\alpha\) 와 구 \( (x-4)^2 +(y-4)^2 +(z-2)^2 =4\) 가 오직 한 점에서 만날 때, 그 점을 \(\rm A\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 점 \(\rm P\) 가 나타내는 도형의 길이는 \(l \pi\) 이다. (가) \( \overrightarrow {\rm OA} \cdot \overrightarrow {\rm AP} = 0 \) (나) \(\left| {\overrightarrow {{\rm{OP}}} } \right| = 9\) 이 때, \(l\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 14

그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(8\) 인 정팔면체 \(\rm ABCDEF\) 의 모서리 \(\rm AE,\;AB,\;CF,\;DF\) 의 중점을 각각 \(\rm P,\;,Q,\;R,\;S\) 라 할 때, 사각형 \(\rm PQRS\) 의 평면 \(\rm BCDE\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. 정답 16

아래 그림과 같이 쌍곡선 \( {\displaystyle \frac{x^2}{4}}-y^2 =1\) 과 점 \( {\rm P} \left ( \sqrt{5},\;{\displaystyle \frac{1}{2}} \right ) \) 에서 만나는 타원 \({\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\Large \frac {y^2}{b^2}} =1 \) 이 있다 점 \(\rm P\) 를 접점으로 하는 쌍곡선의 접선과 타원의 접선이 서로 수직으로 만날 때, \(b^2 = {\displaystyle \frac{q}{p}}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 9

아래 그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 \(\overline {\rm OA} = 2,\; \overline {\rm OC} = \sqrt{3},\; \overline {\rm OD} = 1 \) 인 직육면체 \(\rm OABC-DEFG\) 가 있다. 모서리 \(\overline {\rm BC}\) 위의 한 점 \(\rm A'\) 은 \(\overline {\rm BA'} =1 \) 인 점이고, 꼭짓점 \(\rm D\) 에서 선분 \(\overline {\rm AA'}\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm H\) 라 하자. 선분 \(\overline {\rm OD}\) 를 회전축으로 하여 직육면체 \(\rm OABC-DEFG\) 를 \(360^o\) 회전시킬 때, 선분 \(\overline {\rm..

삼차함수 \(f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d\) 가 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 이다. (나) \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{2} \) \(\displaystyle \int_{-1}^1 (ax+c)f(x) dx \) 의 값을 최소로 하는 \(f(x) \) 에 대하여 \(f(-2)\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b,\;c,\;d \) 는 상수이다.) 정답 33

모든 실수 \(x\) 에 대하여 \( \displaystyle \int_0^x {\left( {x - t} \right)f\left( t \right)dt = {{\displaystyle \frac {1}{2}}}{x^2} - x + \sin x} \) 를 만족시키는 함수 \(f(x)\) 가 있다. 구간 \([0, \; 2 \pi]\) 에서 곡선 \(y=f \left ( x + {\displaystyle \frac{\pi}{2}} \right ) \) 와 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분을 \(x\) 축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 \(V\) 라 할 때, \(\displaystyle \frac{V}{\pi ^2}\) 의 값을 구하시오. 정답 3

삼차함수 \(y=f(x)\) 와 이차함수 \(y=g(x)\) 의 도함수 \(y=f~'(x)\) 와 \(y=g'(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \( f(0)=g(0),\;\;f(a)-g(a)0\) ㄴ. 방정식 \(f(x)=g(x)\) 는 서로 다른 세 실근을 갖는다. ㄷ. 구간 \([a, \;b]\) 에서 함수 \(f(x)-g(x)\) 는 \(x=b\) 일 때 최댓값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

\(3\) 문제가 차례로 주어지는 퀴즈대회에서 한 문제를 틀리면 다음 문제에 도전하지 못한 채 탈락하고, 세 문제를 모두 맞히면 상품을 받는다고 한다. 이 퀴즈대회에 출전한 경험이 있는 사람들을 대상으로 조사했더니, 첫 번째 문제를 맞힐 확률은 \(60\%\), 두 번째 문제에 도전했을 때 그 문제를 맞힐 확률은 \(40\%\) 이었고, 세 번째 문에제 도전했을 때 그 문제를 맞힐 확률은 \(p\%\) 이었다. 이 퀴즈대회에 출전했던 사람 중에서 한 명을 임의로 택할 때, 이 사람이 세 번째 문제에서 탈락했을 확률은 두 번째 문제에서 탈락했을 확률의 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 배와 같다고 한다. 이 때, 자연수 \(p\) 의 값을 구하시오. 정답 25

다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{f\left( {{x^3}} \right) - {x^3}} \over {x - 1}} = 3\] 일 때, 미분계수 \(f~'(1)\)의 값은? ① \(-3\) ② \(-2\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ⑤

두 함수 \(f(x),\; g(x)\) 의 그래프는 다음과 같다. 이 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) ㄴ. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) ㄷ. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {g\left( x \right)} \right) = 0\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③