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수악중독
삼차함수 \(f(x)=x^3 -3ax^2 +3(a+2)x+1\) 의 그래프와 직선 \(y=t\) 의 교점의 개수를 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(g(t)\) 가 모든 실수 \(t\) 에서 연속이 되게 하는 정수 \(a\) 의 개수는? ① \(0\) ② \(1\) ③ \(2\) ④ \(3\) ⑤ \(4\) 정답 ⑤
함수 \(f(x)\) 가 \[f(\cos x)=\sin 2x + \tan x\;\; \left ( 0
곡선 \(y=x^3 -3x\) 위의 원점이 아닌 한 점 \(\rm P\) 에서의 접선을 \(l_1\) 이라 하자. 직선 \(l_1\) 과 곡선 \(y=x^3 -3x\) 의 교점 중에서 점 \(\rm P\) 가 아닌 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, 점 \(\rm Q\) 에서의 접선을 \(l_2\) 라 하자. 두 직선 \(l_1 , \; l_2\) 의 기울기를 각각 \(m_1 , \; m_2\) 라 할 때, \(m_1 \geq 1\) 이면 \(m_2 \geq \alpha\) 이다. 이때, \(\alpha\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(13\)
곡선 \(y=\left ( \ln \dfrac{1}{ax} \right ) ^2\) 의 변곡점이 직선 \(y=2x\) 위에 있을 때, 양수 \(a\) 의 값은? ① \( e\) ② \(\dfrac{5}{4}e\) ③ \( \dfrac{3}{2}e\) ④ \(\dfrac{7}{4}e\) ⑤ \(2e\) 정답 ⑤
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 의 도함수 \(y=f'(x)\) 의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 골라라. ㄱ. \(y=f(x)\) 는 모든 점에서 미분가능하다. ㄴ. \(f(x)=0\) 을 만족하는 \(x\) 의 값은 \(3\) 개다. ㄷ. \(y=f(x)\) 의 극값은 \(3\) 개다. 정답 ㄷ
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 일 때, \(f(x)\) 가 미분가능하면 \(f'(-x)=f'(x)\) 이다.ㄴ. 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \( \left | f(x) \right | \le Mx^2\) 이면 \(f'(0)=0\) 이다. (단, \(M\) 은 양의 상수이다.)ㄷ. \(\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(c+h)+f(c-h)-2f(c)}{h} =0\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x=c\) 에서 미분 가능하다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
아래 그림과 같이 삼차함수 \(y=x^2 (3-x)\) 의 그래프와 직선 \(y=mx\) 가 제 \(1\)사분면 위의 서로 다른 두 점 \(\rm P, \; Q\) 에서 만난다. 이 때, 세 점 \(\rm A(3,\;0),\; P, \;Q\) 를 꼭짓점으로 하는 \(\triangle \rm APQ\) 의 넓이가 최대가 되게 하는 양수 \(m\) 에 대하여 \(10m\) 의 값을 구하시오. 정답 15
등식 \(x^2 +3y^2 =9\) 를 만족시키는 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \(x^2 +xy^2\) 의 최솟값은? ① \(-\dfrac{5}{3}\) ② \(-1\) ③ \(-\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(2\) 정답 ①
그림은 삼차함수 \(f(x)=x^3 -3x^2 +3x\) 의 그래프이다. 원점을 지나고 곡선 \(y=f(x)\) 에 접하는 직선은 두 개이다. 두 접선과 곡선 \(y=f(x)\) 의 교점 중 원점이 아닌 점들의 \(x\) 좌표의 합을 \(S\)라 하자. 이때, \(10S\) 의 값을 구하시오. 정답 45