수악중독

자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(f(n)=\displaystyle \int _1^n x^3 e^{x^2} dx\) 라 할 때, \(\dfrac{f(5)}{f(3)}\) 의 값은? ① \(e^{14}\) ② \(2 e^{16}\) ③ \(3e^{16}\) ④ \(4e^{18}\) ⑤ \(5e^{18}\) 정답 ③

\(0 \leq x < \dfrac{\pi}{2}\) 에서 정의된 함수 \(f(x)\) 가 \[ f'(x)=\dfrac{1}{\cos x},\;\; f(0)=0\] 을 만족할 때, \(f \left ( \dfrac{\pi}{6} \right ) \) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2} \ln 2\) ② \(\dfrac{1}{2} \ln 3\) ③ \(\ln 2\) ④ \(\ln 3\) ⑤ \(2 \ln 2\) 정답 ②

함수 \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) 에 대하여 \[F(x)=\displaystyle \int_0^x tf(x-t) dt\;\; (x \geq 0)\] 일 때, \(F'(a)=\ln 10\) 을 만족시키는 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(9\)

그림은 \(0 \leq x \leq 2\pi\) 에서 정의된 함수 \(f(x)=\cos x + \left | \cos x \right |\) 의 그래프이다. \(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} f \left ( 2x - \dfrac{\pi}{6} \right ) dx \) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) 정답 ③

함수 \(f(x)=\displaystyle \int \dfrac{1}{1-e^x} dx\) 에 대하여 \(f(2)-f(1)\) 의 값은? ① \(\ln \dfrac{e}{e-1}\) ② \(\ln \dfrac{e-1}{e}\) ③ \(1\) ④ \(\ln \dfrac{e}{e+1}\) ⑤ \(\ln \dfrac{e+1}{e}\) 정답 ④

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(t\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_0^2 xf(tx) dx=4t^2\) 을 만족시킬 때, \(f(2)\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④

두 연속함수 \(f(x),\;g(x)\) 가 \[g\left( {{e^x}} \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {f\left( x \right)}&{\left( {0 \le x < 1} \right)}\\ {g\left( {{e^{x - 1}}} \right) + 5}&{\left( {1 \le x \le 2} \right)} \end{array},\;\;\; \displaystyle \int_1^{{e^2}} {g\left( x \right)dx = 6{e^2} + 4} } \right.\] 를 만족시키고, \(\displaystyle \int _1 ^e f(\ln x) dx =ae+b\) 일 때, \(a^2+b^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(17\)

닫힌 구간 \([0,\;4]\) 에서 정의된 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \(\displaystyle \int _1^2 \dfrac{f \left ( x^2 \right )}{x} dx=p \ln 2 +q\) 일 때, \(10p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 유리수이다.) 정답 \(29\)

\(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \) 에서 정의된 함수 \(f(x)\) 와 도함수 \(f'(x)\) 가 \[f(0)=0, \; f'(x)=1+\{ f(x) \}^2 \] 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(g'(1) \times g(1)\) 의 값은? ① \(\dfrac{\pi}{10}\) ② \(\dfrac{\pi}{8}\) ③ \(\dfrac{\pi}{6}\) ④ \(\dfrac{\pi}{4}\) ⑤ \(\dfrac{\pi}{2}\) 정답 ②

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 있다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(2x)=2f(x)f'(x)\) 이고, \(f(a)=0,\;\; \displaystyle \int_{2a}^{4a} \dfrac{f(x)}{x} dx=k \;(a>0,\; 0