수악중독

상수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)= a \sin ^3 x + b \sin x$ 가 $$f \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = 3 \sqrt{2}, \;\; f \left ( \dfrac{\pi}{3} \right ) = 5 \sqrt{3}$$ 을 만족시킨다. 실수 $t \; (1 < t < 14)$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=t$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$ 번째 수를 $x_n$ 이라 하고 $$c_n = \displaystyle \int_{3\sqrt{2}}^{5\sqrt{3}} \dfrac{t}{f'(x_n)} dt$$ 라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{1..

미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음의 등식을 만족시킬 때, $f(1)$ 의 값을 구하시오.$$\displaystyle \int_0^x f(t) \; dt = x^3 - 3x^2 +x + \int_0^x tf(x-t)dt, \;\; f(0)=1$$ 정답 $e-6$

구간 $[1, \; 2]$ 에서 연속이고 구간 $(1, \;2)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 직선 $y=x-t\; \; (0 \le t \le 2)$ 와 곡선 $y=f(x)$ 가 오직 한 점에서 만날 때, 그 점의 $x$ 좌표를 $g(t)$ 라고 하자. 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_1^2 f(x) \; dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) $g(t)$ 는 구간 $[0, \; 2]$ 에서 연속이면서 증가하고 $g(0)=1, \; g(2)=2$ 이다.(나) $\displaystyle \int_0^2 g(t) \; dt = \dfrac{19}{6..

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 와 그 역함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 점 $(3, \; 5)$ 에 대하여 대칭이다.(나) $2 \le x \le 4$ 일 때, $f(x)=\displaystyle \int_x^2 \dfrac{f(6-t)}{t}\; dt + 11 \ln \dfrac{x}{2} + 3$ 이다.(다) $f(5)=10-a $ 를 만족시키는 상수 $a$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^5 \ln g(x) \; dx = 8 \ln 2 + 6 \ln 3 -9$ 이다. $\displaystyle \int_1^4 \dfrac{f(x)}{x} \; dx = p+q \ln 2 $ 일 때, $p^2 + q^2$ 의 ..

닫힌 구간 $[-3, \; 3]$ 에서 증가하는 연속함수 $f(x)$ 가 이 구간의 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=-f(x)$ 를 만족시킨다. 함수 $F(x)$ 를 $$F(x) = \displaystyle \int_0^x |f(t)| dt $$ 라 할 때, $F(3)=1$ 이다. $\displaystyle \int_{-3}^3 f(x) f ( F(x) ) dx = \dfrac{1}{10}$ 일 때, $F(1)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{20}$ ② $\dfrac{1}{25}$ ③ $\dfrac{1}{30}$ ④ $\dfrac{1}{35}$ ⑤ $\dfrac{1}{40}$ 정답 ①

닫힌 구간 $[0, \;1]$ 에서 증가하는 연속함수 $f(x)$ 가 $$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2, \;\;\; \int_0^1 |f(x)| dx = 2\sqrt{2}$$ 를 만족시킨다. 함수 $F(x)$ 가 $$F(x)=\displaystyle \int_0^x |f(t)|dt \;\;(0 \le x \le 1)$$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)dx$ 의 값은? ① $4-\sqrt{2}$ ② $2+\sqrt{2}$ ③ $5-\sqrt{2}$ ④ $1+2\sqrt{2}$ ⑤ $2+2\sqrt{2}$ 정답 ④

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\displaystyle \int_1^x \dfrac{\ln t}{1+t} dt$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)+f \left ( \dfrac{1}{x} \right )$$ 이라 하자. $\sum \limits_{k=1}^8 g \left ( e^k \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $102$

함수 $f \left (e^x \right ) = ax^3 + bx^2 +cx+d$ (단, $a, \;b, \;c, \;d$ 는 상수) 가 다음 조건을 만족한다. (가) $f(e)=3, \;\; f \left (e^2 \right ) =12 $(나) 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{e^{-x}}^{e^x} \dfrac{f(t)}{t} dt = 0$ 이 성립한다. $\displaystyle \int_1^{e^4} \dfrac{f(x)}{x} dx$ 의 값은? ① $80$ ② $82$ ③ $84$ ④ $86$ ⑤ $88$ 정답 $80$

함수 $f(x)=\dfrac{e^{\cos x}}{1+e^{\cos x}}$ 에 대하여 $$a=f(\pi-x)+f(x), \;\; b=\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) dx $$ 일 때, $a+\dfrac{100}{\pi}b$ 의 값을 구하시오. 정답 $51$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(1)=2\)(나) \(\displaystyle \int _0 ^1 (x-1) f'(x+1) dx = -4\) \(\displaystyle \int _1 ^2 f(x) dx\) 의 값을 구하시오. (단, \(f'(x)\) 는 연속함수이다.) 정답 \(6\)