수악중독

그림과 같이 높이가 \(30 \rm cm\) 인 그릇 \(\rm A\) 에 물이 가득 채워져 있고, 그릇 \(\rm A\) 바로 아래에 밑면의 반지름의 길이가 \(20 \rm cm\) 이고 높이가 \(30 \rm cm\) 인 원기둥 모양의 그릇 \(\rm B\)가 있다. 그릇 \(\rm A\) 에 반지름의 길이가 \(10 \rm cm\)인 쇠공 \(\rm C\) 를 매초 \(1 \rm cm\) 의 속력으로 잠기도록 넣으면 그릇 \(\rm A\) 에서 넘쳐 나온 물이 모두 그릇 \(\rm B\) 에 채워진다. 쇠공이 물에 잠기기 시작하여 \(10\)초가 되는 순간 그릇 \(\rm B\) 에서 수면이 상승하는 속도는? (단, 그릇 \(\rm A\) 에 넘쳐 나온 물이 그릇 \(\rm B\) 에 떨어지는 시간..

한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 각 변의 중점을 각각 \(\rm E,\; F,\; G,\; H\) 라고 하자. 그림과 같이 합동인 \(4\) 개의 포물선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이가 \(\dfrac{b\sqrt{2}}{a}- \dfrac{d}{c}\) 일 때, \(a+b+c+d\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(b\), \(c\) 와 \(d\) 는 각각 서로소인 자연수이다.) 정답 21

모든 실수 \(a\) 에 대하여 직선 \(x+2ay=a^2 +1\) 이 지나지 않는 영역을 \(A\) 라 하자. 영역 \(A\) 중에서 \(x \ge 0\) 인 부분을 \(y\) 축의 둘레로 회전하여 생긴 회전체의 부피는? ① \(\dfrac{3}{4}\pi\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{16}{15}\pi\) ④ \(\dfrac{6}{5}\pi\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\pi\) 정답 ③

\( n\) 차 다항식 \( f(x) \) 가 다음 세 조건을 만족한다. (가) \(f(0)=1\) (나) \( \displaystyle \int_0^1 f(x) {\rm d} x = 2 \) (다) \( \displaystyle \int_0^1 xf(x) {\rm d}x = \int_0^1 x^2 f(x) {\rm d} x = \cdots = \int_0^1 x^n f(x) {\rm d } x = 0 \) 이 때, \( \displaystyle \int_0^1 \left\{ f(x) \right\}^2 {\rm d}x \) 의 값은? ① \( 1 \) ② \( 2 \) ③ \( n \) ④ \( \dfrac{1}{n+1} \) ⑤ \( \dfrac{1}{n} \) 정답 ②

\(-1 \le t \le 2\) 에서 \(x\) 에 대한 방정식 \(-x^3 +3x+t=0\) 의 실근 중 최대인 것을 \(h_1 (t)\), 최소인 것을 \(h_2 (t)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _{-2}^{2} \left \{ h_1 (t) - h_2 (t) \right \} dt\) 의 값은? ① \(- \dfrac{29}{2}\) ② \(- \dfrac{27}{2}\) ③ \(- \dfrac{9}{2}\) ④ \(\dfrac{27}{2}\) ⑤ \( \dfrac{29}{2}\) 정답 ④

정답 ①

정답 : 770

\(xyz\) 공간에 있어, 평면 \(z=0\) 위의 중심이 원점이고 반지름 \(2\) 인 원을 밑면으로 하고, 점 \((0,\;0,\;1)\) 을 꼭지점으로 하는 원뿔을 \(\rm A\) 라 하자. 또, 평면 \(z=0\) 위의 점 \((1,\;0,\;0)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm H\), 평면 \(z=1\) 위의 점 \((1,\;0,\;1)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm K\) 라 하자. \(\rm H\) 와 \(\rm K\) 를 밑면으로 하는 원기둥을 \(\rm B\) 라 하고, 원뿔 \(\rm A\) 와 원기둥 \(\rm B\) 의 공통부분을 \(\rm C\) 라 하자. \(0 \le t \le 1\) 인 실수 \(t\) 에 대하여, ..

회전체의 부피를 구하는 대표적인 방법으로 와셔(washer method)가 있다. 우리나라 교육과정 중 수2에 나오는 회전체의 부피를 구하는 방법이 와셔법이다. 위의 색칠된 영역을 세로축의 둘레로 회전 시킨 회전체의 부피를 구할 때, 회전축에 수직이 되게 자른 단면을 회전시켜 입체의 부피를 얻게 된다. 그런 단면의 넓이들을 모두 더하면(적분하면) 입체의 부피가 된다는 것이다. 그런데 원통껍질법(Cylindrical Shell Method)는 이와 접근법이 조금 다른다. 회전 입체를 회전축에서 가장 바깥쪽으로 부터 한 껍질씩 벗겨가면서 그 껍질의 넓이를 다 더하는 식이다. 위의 그림을 보면 와셔법과는 조금 다른 것을 확인할 수 있다. 오히려 회전축에 평행하게 입체를 잘라 속이 비어있는 원통 모양을 만든 후..