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적분과 통계_적분_입체의 부피_난이도 상 본문

(9차) 미적분 II 문제풀이/적분

적분과 통계_적분_입체의 부피_난이도 상

수악중독 2009.07.14 02:44
\(xyz\) 공간에 있어, 평면 \(z=0\) 위의 중심이 원점이고 반지름 \(2\) 인 원을 밑면으로 하고, 점 \((0,\;0,\;1)\) 을 꼭지점으로 하는 원뿔을 \(\rm A\) 라 하자. 또, 평면 \(z=0\) 위의 점 \((1,\;0,\;0)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm H\), 평면 \(z=1\) 위의 점 \((1,\;0,\;1)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm K\) 라 하자. \(\rm H\) 와 \(\rm K\) 를 밑면으로 하는 원기둥을 \(\rm B\) 라 하고, 원뿔 \(\rm A\) 와 원기둥 \(\rm B\) 의 공통부분을 \(\rm C\) 라 하자. \(0 \le t \le 1\) 인 실수 \(t\) 에 대하여, 평면 \(z=t\) 에 의한 \(\rm C\) 의 절단면의 넓이를 \(S(t)\) 라 하자.
 
1) \(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\) 인 \(\theta\) 에 대하여 \(t=1-\cos \theta\) 일 때, \(S(t)\) 를 \(\theta\) 로 나타내어라.
2) \(\rm C\) 의 부피 \(\displaystyle \int _{0}^{1} S(t) dt \) 를 구하여라.







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