적분과 통계_적분_입체의 부피_난이도 상

$xyz$ 공간에 있어, 평면 $z=0$ 위의 중심이 원점이고 반지름 $2$ 인 원을 밑면으로 하고, 점 $(0,\;0,\;1)$ 을 꼭지점으로 하는 원뿔을 $\rm A$ 라 하자. 또, 평면 $z=0$ 위의 점 $(1,\;0,\;0)$ 을 중심으로 하는 반지름 $1$ 인 원을 $\rm H$, 평면 $z=1$ 위의 점 $(1,\;0,\;1)$ 을 중심으로 하는 반지름 $1$ 인 원을 $\rm K$ 라 하자. $\rm H$ 와 $\rm K$ 를 밑면으로 하는 원기둥을 $\rm B$ 라 하고, 원뿔 $\rm A$ 와 원기둥 $\rm B$ 의 공통부분을 $\rm C$ 라 하자. $0 \le t \le 1$ 인 실수 $t$ 에 대하여, 평면 $z=t$ 에 의한 $\rm C$ 의 절단면의 넓이를 $S(t)$ 라 하자.
 
1) $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ 인 $\theta$ 에 대하여 $t=1-\cos \theta$ 일 때, $S(t)$ 를 $\theta$ 로 나타내어라.
2) $\rm C$ 의 부피 $\displaystyle \int _{0}^{1} S(t) dt$ 를 구하여라.

정답 (1) $2 \theta \times \cos 2 \theta - \sin 2 \theta + \pi$       (2) $\dfrac{\pi ^2}{2} -2$

주어진 문제를 그림으로 나타내면 아래과 같다.

높이가 z=t 로 자르면 원뿔의 단면도 원이 되고, 원기둥의 단면도 원이 되어 원과 원이 겹쳐지는 넓이를 구하면 된다.
이것을 위에서 내려다본 그림이 아래와 같다.

점 P를 원기둥의 중심으로 보고, 점 Q를 원뿔의 중심으로 보자.
t 값이 점점 커질수록 원뿔의 단면인 오른쪽 원은 점점 반지름이 줄어드는 반면 원기둥의 단면은 모양의 변화가 없다.
z=t=1-cosθ로 잘랐을 때의 원뿔의 단면인 오른쪽 원의 반지름은 비례식으로 부터 2cosθ가 됨을 알 수 있고, 두 원의 공통현의 방정식인 직선 RH의 방정식을 구해보면 선분 QH의 길이는 2cos²θ가 되는 것을 알 수 있다. (이건 그냥 두 원의 방정식을 xy평면에서만 생각하여 두 원의 방정식의 차를 구해보면 알 수 있다.) 이렇게 되면 QR=QS=2cosθ, QH=2cos²θ가 되어  ∠RQH=θ임을 알 수 있다. 또한 △PQR이 PQ=PR=1인 이등변 삼각형이므로 점 P에서 선분 RQ에 내린 수선을 발을 T라 하면 점 T는 선분 RQ의 중점이 되고   ∠PTQ는 직각이 된다. 따라서 선분 PT=sinθ가 된다.
결국 두 원의 공통 영역의 넓이는

가 됨을 알 수 있다.

따라서 구하는 부피는

가 되지 않을까 생각한다. 확신 없음 ㅋㅋ