원통껍질법 (Cylindrical Shell Method)

회전체의 부피를 구하는 대표적인 방법으로 와셔(washer method)가 있다. 우리나라 교육과정 중 수2에 나오는 회전체의 부피를 구하는 방법이 와셔법이다.

위의 색칠된 영역을 세로축의 둘레로 회전 시킨 회전체의 부피를 구할 때, 회전축에 수직이 되게 자른 단면을 회전시켜 입체의 부피를 얻게 된다.

그런 단면의 넓이들을 모두 더하면(적분하면) 입체의 부피가 된다는 것이다.

 

그런데 원통껍질법(Cylindrical Shell Method)는 이와 접근법이 조금 다른다.
회전 입체를 회전축에서 가장 바깥쪽으로 부터 한 껍질씩 벗겨가면서 그 껍질의 넓이를 다 더하는 식이다.

위의 그림을 보면 와셔법과는 조금 다른 것을 확인할 수 있다. 오히려 회전축에 평행하게 입체를 잘라 속이 비어있는 원통 모양을 만든 후에 그 원통의 부피(즉 껍질의 넓이)를 적분한다.

모두 모아 놓고 보면 위의 그림과 같다.
실제 이런식으로 생기는 입체를 종합해서 보면 아래와 같다.