수악중독

자연수 \(n\) 에 대하여 다음과 같이 제\(n\)행에 \(0\) 과 \(1\) 사이의 유리수 중에서 분모는 \(2^n\) 이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부터 차례로 나열하였다. 제\(1\)행 \(\dfrac{1}{2}\) 제\(2\)행 \(\dfrac{1}{4},\; \dfrac{3}{4}\) 제\(3\)행 \(\dfrac{1}{8}.\; \dfrac{3}{8},\; \dfrac{5}{8}, \; \dfrac{7}{8}\) \(\vdots\) 제 \(n\) 행의 마지막 수를 \(a_n\), 제\(n\)행의 모든 수의 합을 \(b_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\left ( 2^n +1 \right ) a_n}\) 의 값은? ① ..

첫째항이 \(12\) 이고 공비가 \(\dfrac{1}{3}\) 인 등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 수열 \(\{b_n\}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) \(b_1=1\)(나) \(n \geq 1\) 일 때 \(b_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n \left (-b_n , \; b_n^2 \right )\) 을 지나고 기울기가 \(a_n\) 인 직선과 곡선 \(y=x^2\) 의 교점 중에서 \({\rm P}_n \) 이 아닌 점의 \(x\) 좌표이다. \(\lim \limits_{n \to \infty} b_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(19\)

모든 실수에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 구간 \([-1,\;1]\) 에서 \(f(x)=x^2\) 으로 정의되고, \(f'(x)\) 는 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(f'(x+4)=f'(x)\) (나) \(f'(2-x)=f'(x)\) 이때, \(\displaystyle \int_0^{10} f(x) dx\) 의 값을 구하시오. 정답 \(10\)

함수 \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) 에 대하여 \[F(x)=\displaystyle \int_0^x tf(x-t) dt\;\; (x \geq 0)\] 일 때, \(F'(a)=\ln 10\) 을 만족시키는 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(9\)

부등식 \(n< \displaystyle \int_0^2 \sqrt{27+2 \sin x} dx < n+1\) 을 만족하는 양의 정수 \(n\) 을 구하시오. 정답 \(10\)

그림은 \(0 \leq x \leq 2\pi\) 에서 정의된 함수 \(f(x)=\cos x + \left | \cos x \right |\) 의 그래프이다. \(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} f \left ( 2x - \dfrac{\pi}{6} \right ) dx \) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) 정답 ③

무한수열 \[2+\dfrac{1}{2},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}, \;\; \cdots\]은 수렴하는 것으로 알려져 있다. 다음은 그 극한값을 구하는 과정이다. 주어진 수열을 \(\{a_n\}\) 이라 하면 \(a_1=2+\dfrac{1}{2}\) 이고 이 수열의 극한값을 \(x\) 라고 하면 \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = x, \;\; \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1}=x\) 이므로 \(x=(가)+\dfrac{1}{x}\) 이다. 따라서 구하는 극값값은 \((나)\) 이다. 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? ① ..

다음과 같이 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. \[\left\{ {\begin{array}{ll} {{a_1} = 2}\\ {{a_{n + 1}} = \dfrac{3}{4}{a_n} + 4\;\;\left( {n = 1,\;2,\;3,\; \cdots } \right)} \end{array}\;\;} \right.\] \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\)

두 수 \(2^n\) 과 \(5^n\) 의 최고 자릿수가 \(a\) 로 같아지도록 하는 자연수 \(n\) 과 \(a\) 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(a \cdot 10^p

일차변환 \(f,\;g\) 를 나타내는 행렬이 각각 \(\left ( \matrix { \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta} \right ) ,\; \left ( \matrix{2 & 0 \\ 0 & 2} \right )\)일 때, 도형 \(D:(x-2)^2+y^2=4\) 의 합성변환 \(f \circ g^{-1}\) 에 의한 상을 \(D'\) 이라 한다. \(\theta\) 가 \(0^{\rm o} \leq \theta \leq 90^{\rm o}\) 의 범위를 취할 때, 도형 \(D'\) 이 존재하는 영역의 넓이는? ① \(2\pi-1\) ② \(\dfrac{3}{2}\pi+1\) ③ \(2\pi\) ④ \(6\pi-2\) ⑤ \(6\..