수학1_수열의 극한_점화식과 극한_난이도 중

무한수열 $2+\dfrac{1}{2},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}, \;\; \cdots$은 수렴하는 것으로 알려져 있다. 다음은 그 극한값을 구하는 과정이다.

 

주어진 수열을 $\{a_n\}$ 이라 하면 $a_1=2+\dfrac{1}{2}$ 이고

이 수열의 극한값을 $x$ 라고 하면

$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = x, \;\; \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1}=x$ 이므로

$x=(가)+\dfrac{1}{x}$ 이다.

따라서 구하는 극값값은 $(나)$ 이다.

 

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

 

① $2,\; 1+\sqrt{2}$          ② $2,\; 2+\sqrt{2}$          ③ $2,\; 3+\sqrt{2}$         

 

④ $1,\; \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$          ⑤ $1,\; \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$         

 

 

정답 ①