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수학1_수열의 극한_점화식과 극한_난이도 중 본문
무한수열 \[2+\dfrac{1}{2},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}},\;\; 2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}, \;\; \cdots\]은 수렴하는 것으로 알려져 있다. 다음은 그 극한값을 구하는 과정이다.
주어진 수열을 \(\{a_n\}\) 이라 하면 \(a_1=2+\dfrac{1}{2}\) 이고
이 수열의 극한값을 \(x\) 라고 하면
\(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = x, \;\; \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1}=x\) 이므로
\(x=(가)+\dfrac{1}{x}\) 이다.
따라서 구하는 극값값은 \((나)\) 이다.
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은?
① \(2,\; 1+\sqrt{2}\) ② \(2,\; 2+\sqrt{2}\) ③ \(2,\; 3+\sqrt{2}\)
④ \(1,\; \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\) ⑤ \(1,\; \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)