수악중독

함수 \(f(x)=x^3 +3x^2 -2x-1\) 에 대하여 \(\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{1}{x-2} \displaystyle \int_2^x f(t) dt\) 의 값은? ① \(7\) ② \(9\) ③ \(11\) ④ \(13\) ⑤ \(15\) 정답 ⑤

함수 \(f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x + \cos x -2}\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 최솟값은 \(-1-\sqrt{2}\) 이다. ㄴ. \(x=\dfrac{\pi}{4}\) 에서 최댓값을 갖는다. ㄷ. \(x=\dfrac{5}{4}\pi\) 에서 극댓값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\) 의 도함수 \(f'(x)\) 는 \(x=a\) 일 때, 최댓값 \(M\) 을 갖는다. 이때, 상수 \(a\), \(M\) 의 합 \(a+M\) 에 대하여 \(8(a+M)\) 의 값을 구하여라. 정답 \(4\)

그림과 같이 점 \({\rm A}(a, \;0)\) 에서 곡선 \(y=1+\ln x\) 에 그은 접선이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm P\), 접점을 \(\rm Q\) 라 하자. 점 \(\rm Q\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm R\), \(\triangle \rm PQR\) 의 넓이를 \(S(a)\) 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a

두 곡선 \(y=x^3+kx+3\) 과 \(y=x^2+2\) 의 교점에서 공통인 접선을 갖도록 하는 실수 \(k\) 의 값은? ① \(-4\) ② \(-3\) ③ \(-2\) ④ \(-1\) ⑤ \(0\) 정답 ④

아래 그림과 같이 중심이 \({\rm C}(a,\;0)\) 인 원이 곡선 \(y=x^3+1\) 과 점 \({\rm P}(1, \;2)\) 에서 공통인 접선을 가질 때, 양수 \(a\) 의 값은? ① \(4\) ② \(5\) ③ \(6\) ④ \(7\) ⑤ \(8\) 정답 ④

그림과 같이 점 \(\rm P\) 가 점 \({\rm A}(1,\;1)\) 을 출발하여 곡선 \(y=\ln x+1\) 을 따라 매초 \(2\) 의 일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 \(\rm P\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 할 때, \(x=2\) 일 때, 점 \(\rm Q\) 의 속력은? ① \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) ② \(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\) ③ \(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\) ④ \(\sqrt{5}\) ⑤ \(\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\) 정답 ③

좌표평면 위를 움직이는 점 \({\rm P}(x, \;y)\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치가 \[x=2 \sin t - 2 \cos, \;\;\; y=3 \sin t \cos t\]이다. 점 \(\rm P\) 의 속력의 최댓값을 \(\dfrac{q}{p}\) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(14\)

아래 그림과 같이 점 \(\rm P\) 가 점 \((0, \;1)\) 을 출발하여 곡선 \(y=e^x\;(x \geq 0)\) 위를 매초 \(1\) 의 속력으로 움직이고 있다. 점 \(\rm P\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라고 할 때, 점 \(\rm P\) 가 점 \((1, \;e)\) 를 지나는 순간의 점 \(\rm Q\) 의 속력을 구하면? ① \(\dfrac{1}{2\sqrt{1+e^2}}\) ② \(\dfrac{1}{\sqrt{1+e^2}}\) ③ \(\dfrac{2}{\sqrt{1+e^2}}\) ④ \(\dfrac{1}{1+e^2}\) ⑤ \(\dfrac{2}{1+e^2}\) 정답 ②

실수 전체에서 정의된 두 함수 \(f(x), \;g(x)\) 가 있다. 함수 \(f(x)\) 가 \(f(0)=0,\; f'(0)=1\) 을 만족할 때, 함수 \(f(x)g(x)\) 가 \(x=0\) 에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은? ① \(g(0)=0\) ② \(\lim \limits_{x \to 0} g(x)=0\) ③ 극한값 \(\lim \limits_{x \to 0} g(x)\) 가 존재한다. ④ \(g(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속이다. ⑤ \(g(x)\) 가 \(x=0\) 에서 미분가능하다. 정답 ③