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수악중독
다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 \(n\) 의 값의 합을 구하시오. (가) \(1
\(a_1=20,\; a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+10\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 과 같이 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_{100}\) 에 가장 가까운 정수는? ① \(7\) ② \(9\) ③ \(11\) ④ \(15\) ⑤ \(19\) 정답 ④
\(a_1=2,\; a_{n+1}=10a_n+81\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 로 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. 이때, \(a_{10}\) 의 각 자리의 수의 합은? ① \(68\) ② \(70\) ③ \(72\) ④ \(74\) ⑤ \(76\) 정답 ④
첫째항이 \(1\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k\) 라 할 때, \[nS_{n+1} =(n+2)S_n +(n+1)^3 \;\; (n \geq 1)\] 이 성립한다. 다음은 수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 \(n\) 에 대하여 \(S_{n+1}=S_n +a_{n+1}\) 이므로 \[n a_{n+1} = 2S_n +(n+1)^3 \cdots\cdots ㉠\] 이다. \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \[(n-1)a_n=2S_{n-1}+n^3 \cdots\cdots ㉡\]이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터 \[na_{n+1}=(n+1)a_n + (가) \] 를 얻는다. 양변을 \(n(n+1)..
수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=2\) 이고, \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} a_k\) 라 할 때, \[a_{n+1}= \dfrac{S_n}{a_n}\;\; (n \geq 1) \] 을 만족시킨다. 다음은 \(S_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식으로부터 \(a_2=\dfrac{S_1}{a_1}=1\) 이다. \(n\geq 3\) 일 때, \(a_n = \dfrac{S_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{S_{n-2}+a_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{a_{n-2}a_{n-1}+a_{n-1}}{a_{n-1}}\) 이므로 \(a_n =a_{n-2}+1\) 이다. 따라서 일반항 \(a_n\) 을 구하면, 자연수 \(k\) 에 대하여 \(n=2k-1\) 일 때..
수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=4\) 이고, \[a_{n+1} = n \cdot 2^n +\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{k} \; (n \geq 1)\]을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여 \[a_n =(n-1) \cdot 2^{n-1} + \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_k}{k} \;(n \geq 2)\] 이다. 따라서 \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+1}-a_n=(가)+\dfrac{a_n}{n} \) 이므로 \(a_{n+1}= \dfrac{(n+1)a_n}{n}+(가)\) 이다. \(b_n=\dfrac{a_n}{n}\) 이라 하면 \(b_{n+1}=b_n..
수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=-\dfrac{4}{9}\) 이고, \[2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n \;(n \geq 1)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식 \(2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n\) 의 양변을 \(2^{2n+1}\) 으로 나누면 \[\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{n}{2^{2n+1}} \;(n \geq 1)\] 이므로 \(n \geq 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 \[\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{a_1}{2}+ \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k+1}} \; \cdots \cdots (*)\] ..
\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=1\) 인 이등변삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 \(\angle {\rm BAC}= \theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right )\) 라 하자. 점 \(\rm B\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm A\) 를 지나는 원을 \(C_1\), 점 \(\rm C\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm A\) 를 지나는 원을 \(C_2\) 라 할 때, \(C_1, \;C_2\) 각각에서 두 원이 겹치는 부분을 제외하여 얻어지는 두 부분의 넓이의 합을 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta}=\al..
곡선 \(y=e^x\) 위를 움직이는 점 \({\rm P}\left ( t, \; t^2 \right )\) 와 세 점 \({\rm A} (0, \;e), \;{\rm B}(0, \;1),\; {\rm C}(1, \;1)\) 이 있다. \(\triangle {\rm PAB}, \; \triangle {\rm PBC}\) 의 넓이를 각각 \(S_1 ,\; S_2\) 라 할 때, \(\lim \limits_{t \to 0} \dfrac{S_1}{S_2}\) 의 값은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \(e-2\) ② \(e-1\) ③ \(2e-3\) ④ \(2(e-2)\) ⑤ \(2e-1\) 정답 ②