수악중독

두 인공위성 $\rm A,\;B$ 가 지구의 중심으로부터 각각 1만$\rm km$, 2만$\rm km$ 떨어진 채 원형 궤도를 유지하며 지구의 적도 상공을 각각 1시간 동안에 $\Large \frac {\pi}{4}$ 라디안, $\Large \frac{\pi}{3}$ 라디안의 각속도로 같은 방향으로 돌고 있다. 현재 $\rm A$ 와 $\rm B$ 는 그림과 같이 지구를 기준으로 정반대쪽에 위치하고 있다. 두 인공위성 $\rm A$ 와 $\rm B$ 사이의 거리가 처음으로 2만$\rm km$ 이하로 되는 때는 지금으로부터 몇 시간 후인가? $\left ( 단, \cos {\dfrac{5}{12}}\pi = {\dfrac{1}{4}}로\;계산한다. \right)$ ..

오른쪽 그림과 같이 $x$ 축과 곡선 $y=e^{-x^2}$ 에 동시에 접하고 있는 직사각형 $\rm ABCD$ 가 있다. 이때, 직사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이의 최댓값은? ① $\dfrac{\sqrt{2e}}{e}$ ② $\dfrac{\sqrt{2e}}{2}$ ③ $\sqrt{e}$ ④ $e$ ⑤ $\sqrt{2}e$ 정답 ①

곡선 $y=e^x$ 위의 점 $\rm P$ 와 원 $(x-1)^2 +y^2 =1$ 위의 점 $\rm Q$ 를 연결하는 선분 $\rm PQ$ 의 길이의 최솟값은? ① $\sqrt{2}-2$ ② $\sqrt{2}-1$ ③ $\sqrt{2}$ ④ $\sqrt{2}+1$ ⑤ $\sqrt{2}+2$ 정답 ②

함수 $f(x)=\cos ^2 x$ 위의 두 점 $(a,\;f(a)),\;\; (b,\;f(b))$ 에서의 접선이 서로 수직으로 만날 때, $\cos (a-b)$ 의 값은? \(\left (단, \;0

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\rm P,\;Q$ 의 시각 $t$ 에서의 속도가 각각 $v_P (t)=1-2t,\; v_Q (t) = 3t^2 -1$ 일 때, $\overline {\rm PQ}$ 의 중점 $\rm M$ 이 다시 원점을 지날 때까지 점 $M$ 이 움직인 거리는? ① $\dfrac{1}{27}$ ② $\dfrac{2}{27}$ ③ $\dfrac{1}{9}$ ④ $\dfrac{4}{27}$ ⑤ $\dfrac{5}{27}$ 정답 ④

오른쪽 그림과 같이 물이 가득 채워져 있는 직원기둥의 물통을 천천히 기울여 물을 쏟다가 밑면의 중심 $\rm O$ 에 수면이 닿을 때, 멈추었다. 처음 물통에 채워져 있는 물의 양을 $V$, 남아 있는 물의 양을 $V_1$ 이라 할 때, $\dfrac{V_1}{V}$ 의 값은? ① $\dfrac{2}{3\pi}$ ② $\dfrac{4}{3\pi}$ ③ $\dfrac{2}{3} \pi$ ④ $\dfrac{3}{4} \pi$ ⑤ $\dfrac{2}{3} \pi$

직선 운동을 하는 물체의 시각 $t$ 에서의 속도가 $v(t)=t^2 - 4t +3$ 일 때, 시각 $t=0$ 에서 $t=2$ 까지의 이 물체가 움직인 거리를 구하시오.

지면에서 처음 속도 $49 \rm m/초$ 로 똑바로 위로 던진 물체의 $t$ 초 후의 속도 $v(t)$ 는 $v(t)=29-9.8t \;(\rm m/초)$ 라고 한다. 물체를 던진 후 $2$ 초 후부터 $6$ 초까지 이 물체가 움직인 거리를 구하시오. (단, 단위는 $\rm m$ 이다.)

방정식 $\sin \left \{ \dfrac{\pi}{4} \log _x \left ( \dfrac{d}{dx} \displaystyle \int x^2 dx\right ) \right \} = x^2 -4x -4$ 의 모든 실근의 합을 구하시오.

오른쪽 그림과 같은 그릇에 물을 넣을 때, 깊이가 $x$ 이면 수면의 넓이 $S(x)$ 는 $S(x)=\dfrac {4}{81} x^3 + \dfrac{2}{9} x +1$ 이고, 수면의 상승 속도는 시각 $t$ 에 대하여 $v(t)=6-2t$ 라 한다. 이 때, 이 그릇에 담을 수 있는 물의 부피의 최댓값을 구하시오. (단, 처음에는 그릇에 물이 담겨져 있지 않다.)