수악중독

[그림 1]과 같이 가로의 길이가 \(\rm 12cm\), 세로의 길이가 \(\rm 6cm\) 인 직사각형 모양의 종이가 있다. 네 모퉁이에서 크기가 같은 정사각형 모양의 종이를 잘라 낸 후 남는 부분을 접어서 [그림 2]와 같이 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 이 상자의 부피의 최댓값을 \(M \rm cm^3\) 이라 할 때, \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}M \) 의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.) 정답 \(24\)

그림과 같이 태양광선이 지면과 \(60^{\rm o}\) 의 각을 이루면서 비추고 있다. 한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고, 태양광선과 \(30^{\rm o}\) 의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를 \(S\) 라 하자. \(S\) 의 값을 \(\dfrac{\sqrt{3}(a+b\pi)}{3}\) 라 할 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b\) 는 정수이고 판의 두께는 무시한다.) 정답 \(30\)

그림과 같이 \(\overline{\rm EF}=3, \; \overline{\rm FG}=2\) 이고, 투명한 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 안에 반지름의 길이가 \(1\) 인 두 구 \(P, \;Q\) 가 들어 있다. 구 \(P\) 는 평면 \(\rm AEHD, \; EFGH\) 와 접하고, 구 \(Q\) 는 평면 \(\rm BFGC\) 와 접하고, 두 구는 외접하고 있다. 태양광선이 평면 \(\rm EFGH\) 와 \(30^{\rm o}\) 를 이루면서 두 구 \(P, \;Q\) 를 비춘다고 할 때, 지면에 두 구에 의해 생긴 그림자의 넓이가 \(a\pi+b\sqrt{3}\) 이다. 두 유리수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(30(a+b)\) 의 값을 구하시오. (단, 태양광선은 평면 ..

넓이가 \(90\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내부의 한 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(5 \overrightarrow{\rm PA}+2 \overrightarrow{\rm PB}+2 \overrightarrow{\rm PC} = \overrightarrow{0}\) 일 때, \(\triangle \rm PAB\) 의 넓이는? ① \(5\) ② \(10\) ③ \(15\) ④ \(20\) ⑤ \(25\) 정답 ④

\(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\left \{ 2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2 \right \} \left \{ 2^3+4^3+6^3+\cdots+(2n)^3 \right \}}{2^6+4^6+6^6+\cdots+(2n)^6}\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{24}\) ② \(\dfrac{1}{4}\) ③ \(\dfrac{7}{24}\) ④ \(\dfrac{1}{3}\) ⑤ \(\dfrac{3}{8}\) 정답 ③

최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 를 만족시킨다. 방정식 \(|f(x)|=2\) 의 서로 다른 실근의 개수가 \(4\) 일 때, \(f(3)\) 의 값은? ① \(12\) ② \(14\) ③ \(16\) ④ \(18\) ⑤ \(20\) 정답 ④

함수 \(f(x)=x^3-(a+2)x^2+ax\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \( \left ( t, \; f(t) \right )\) 에서의 접선의 \(y\) 절편을 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(g(t)\) 가 열린 구간 \((0,\;5)\) 에서 증가할 때, \(a\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 \(13\)

함수 \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) \cdots (x-10)\) 에 대하여 \(\dfrac{f'(1)}{f'(4)}\) 의 값은? ① \(-80\) ② \(-84\) ③ \(-88\) ④ \(-92\) ⑤ \(-96\) 정답 ②

자연수 \(n\) 에 대하여 구간 \([n, \; n+1]\) 에서 함수 \(y=f(x)\) 의 평균변화율은 \(n+1\) 이다. 이때, 함수 \(y=f(x)\) 의 구간 \([1,\;100]\) 에서의 평균변화율을 구하시오. 정답 \(51\)

\(2\) 개의 불량품을 포함한 \(n\) 개의 제품 중에서 비복원추출하여 임의로 \(1\)개씩을 뽑아 검사할 때, 제\(X\) 번째에 두 번째 불량품이 나왔다. \(X\) 의 평균을 \({\rm E}(X)\) 라고 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ \dfrac{18}{n} {\rm E}(X) \right \}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(12\)