수악중독

\( \log_2 \left ( -x^2 +ax +4 \right ) \) 의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 \(x\) 의 개수가 \(6\) 일 때, 모든 자연수 \(a\) 의 값의 곱을 구하시오. 정답 \(30\)

집합 \(U= \{ x \; |\; x \) 는 \(30 \) 이하의 자연 \( \} \)의 부분집합 \(A=\{ a_1 , \; a_2 , \; a_3 ,\; \cdots, \; a_{15} \}\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 \(A\) 의 임의의 두 원소 \(a_i, \; a_j \;(i \ne j)\) 에 대하여 \(a_i +a_j \ne 31\) (나) \(\sum \limits_{i=1}^{15} a_i =264\) \(\dfrac{1}{31} \sum \limits_{i=1}^{15} a_i ^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(184\)

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 \[f\left( x \right) = {\sin ^2}x + a\cos x,\;\;\;g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{0\;\;\;\;\;\left( {x

그림과 같이 중심이 \({\rm A}(3, \;0)\) 이고 점 \({\rm B}(6, \;0)\) 을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 \(\rm P\) 를 지나는 두 직선 \(\rm AP, \; BP\) 가 \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \(\rm Q, \;R\) 이라 하자. \(\angle \rm PBA = \theta\) 라 하고, 삼각형 \(\rm PQR\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \( \lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta ^5}\) 의 값을 구하시오. (단, \(0< \theta < \dfrac{\pi}{4}\) ) 정답 \(18\)

함수 \(f(x)\) 가 닫힌 구간 \([0, \;2]\) 에서 \( f(x)= |x-1|\) 이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(x+2)\) 를 만족시킬 때, 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=x+f(x)\] 라 하자. 자연수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 \(a, \;b\) 의 순서쌍 \((a, \;b)\) 의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{15} a_n\) 의 값을 구하시오. (가) \(n \leq a \leq n\) (나) \(0

좌표공간에 두 평면 \(\alpha\;:\;4y+3z-6=0\) 과 \(\beta \;:\; 2x+2y-z=0\) 이 있다. 점 \({\rm P} (1,\;0,\;2)\) 는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 의 교선 위에 있는 점이고 점 \( \rm Q\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | =6\) (나) 직선 \(\rm PQ\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{4}\) 이다. 점 \(\rm Q\) 의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(\rm Q_1\) 이라 할 때, 선분 \(\rm PQ_1\) 의 길이의 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\) 의 합은? ① ..

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 원에 외접하고 \( \angle {\rm CAB}=\angle{\rm BCA}=\theta\) 인 이등변삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위에 점 \(\rm A\) 가 아닌 점 \(\rm D\) 를 \( \angle {\rm DCB}=\theta\) 가 되도록 잡는다. 삼각형 \(\rm BDC\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \( \lim \limits_{\theta \to + \theta} \{ \theta \times S(\theta)\} \) 의 값은? (단, \(0

두 다항함수 \(f(x)\) 와 \(g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[g(x)=\left ( x^3 +2 \right ) f(x)\] 를 만족시킨다. \(g(x)\) 가 \(x=1\) 에서 극댓값 \(24\)를 가질 때, \(f(1)-f'(1)\) 의 값을 구하시오. 정답 16 지금보니까 원래 문제는 \(x=1\) 에서 극댓값을 갖는 것이 아니라 극솟값 \(24\) 를 갖는 문제였네요. 그래도 풀이는 달라지지 않기 때문에 귀차니즘으로 인하여 그냥 문제를 극솟값으로 만들었습니다. ^^;

좌표공간의 선분 \(\rm AB\) 를 \(xy, \; yz\) 평면에 정사영 시킨 선분의 길이가 각각 \(a, \; b \) (단, \(a< \;b\)) 일 때, \(\overline{\rm AB}\) 의 최댓값 \(M\) 과 최솟값 \(m\) 에 대하여 \(\sqrt{M^2 - m^2}\) 의 값은? ① \(\sqrt{a^2 +b^2}\) ② \(\sqrt{a^2 -b^2}\) ③ \(a\) ④ \(b\) ⑤ \(b-a\) 더보기 정답 ③

두 등차수열 \(\{a_n\}. \; \{b_n\}\) 의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 각각 \(S_n ,\; T_n\) 이라 하자. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(\dfrac{S_n}{T_n} = \dfrac{3n-1}{5n+11}\) 일 때, \(\dfrac{a_6}{b_6}\) 의 값은? ① \(\dfrac{13}{28}\) ② \(\dfrac{29}{61}\) ③ \(\dfrac{16}{33}\) ④ \(\dfrac{35}{71}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ③