수악중독

두 함수 \(f(x)=2^x-\left [ 2^x \right ] \) 와 \(g(x)=2^{x-k}\) 그래프의 교점의 개수가 \(3\) 이 되도록 하는 \(k\) 값의 범위가 \(\alpha < k \leq \beta\) 일 때, \(2^{\alpha+\beta}\) 의 값을 구하시오. (단, \([x]\) 는 \(x\) 를 넘지 않는 최대 정수이다.) 정답 \(20\)

좌표평면 위에 점 \({\rm P}(x, \; y)\; (-1 \leq x \leq 1,\; -1 \leq y \leq 1)\) 이 있다. 곡선 \(y=x^2+1\) 위의 점 중에서 \(y\) 축에 있지 않은 임의의 점을 \(\left ( a,\; a^2+1 \right )\) 이라 하자. 점 \({\rm P}(x, \;y)\) 와 점 \(\left ( a,\; a^2+1 \right )\) 에 대하여 행렬 \(\left ( \matrix {x & y \\ a & a^2+1} \right )\) 이 역행렬을 가질 때, 점 \(\rm P\) 가 나타내는 도형의 넓이는? ① \(2\) ② \(\dfrac{5}{2}\) ③ \(3\) ④ \(\dfrac{7}{2}\) ⑤ \(4\) 정답 ③ 위의 영역이 그려지..

함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \(\displaystyle \int_{-2}^{2} \left ( x^3 +6x^2+2x \right ) f(x) dx\) 의 값을 구하시오. 정답 \(31\)

이차함수 \(f(x)\) 가 \[\lim \limits_{x \to -1} \dfrac{\left ( x^3+1 \right ) f(x+1)}{x^2-1}=-27\]을 만족시킬 때, 함수 \[g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\frac{{f\left( x \right)}}{{x - 3}}}&{\left( {x \ne 3} \right)}\\0&{\left( {x = 3} \right)}\end{array}} \right.\] 가 실수 전체의 집합에서 연속이다. \(f(1)\) 의 값은? ① \(2\) ② \(4\) ③ \(6\) ④ \(8\) ⑤ \(10\) 정답 ④

곡선 \(y=ax|x|-ax \; (a>0)\) 와 \(x\) 축ㅇ로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(1\) 일 때, \(a\) 의 값은? ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ①

\(1\) 보다 큰 자연수 \(n\) 에 대하여 좌표평면 위의 점 \({\rm P}(n, \;0)\) 에서 원 \(x^2+y^2=1\) 에 그은 두 접선이 원과 만나는 접점을 각각 \(\rm A,\;B\) 라 하자. 삼각형 \(\rm PAB\) 의 넓이를 \(f(n)\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{f(n)}{\sqrt{n^2-1}}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(1\)

그림과 같이 직선 \(l\) 위의 점 \(\rm O_1\) 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(2\) 인 반원 \(H_1\) 이 있다. 반원 \(H_1\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm O_1P\) 와 직선 \(l\) 이 \(60^{\rm o}\) 의 각을 이룰 때, 반원 \(H_1\) 위의 점 \(\rm P\) 에서의 접선을 \(m\) 이라 하고, 직선 \(l, \;m\) 의 교점을 \(\rm A\) 라 하자. 지름이 선분 \(\rm O_1A\) 위에 있고 반원 \(H_1\) 과 직선 \(m\) 에 동시에 접하는 반원을 \(H_2\) 라 하고, 두 반원 \(H_1, \; H_2\) 와 직선 \(m\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 반원 \(H_2\) 의..

\(8\) 명의 선수가 참가한 테니스 대회의 대진표가 아래 그림과 같다. 경기는 토너먼트 방식으로 진행되고, \(8\) 명의 참가자는 모두 실력 차이가 있어서, 각 경기에서는 실력이 뛰어난 선수가 언제가 이긴다고 한다. 대진표에서 상대 선수는 실력에 관계없이 추첨으로 정할 때, 실력이 \(3\) 위인 선수가 실력이 \(1\) 위인 선수와 경기를 하게 될 확률은? ① \(\dfrac{2}{3}\) ② \(\dfrac{5}{7}\) ③ \(\dfrac{16}{21}\) ④ \(\dfrac{17}{21}\) ⑤ \(\dfrac{6}{7}\) 정답 ①

함수 \(f(x)=2kx^2-kx^3 \;(k>0)\) 과 실수 \(t\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t,\; f(t))\) 에서의 \(x\) 축까지의 거리와 \(y\) 축까지의 거리 중 크지 않은 값을 \(g(t)\) 라 하자. \(g(t)\) 가 세 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 \(k\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(\dfrac{3}{4}\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{5}{4}\) 정답 ④

양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표를 \(f(x)\), 가수를 \(g(x)\) 라 할 때, 자연수 \(n \; (n \geq 2)\) 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 자연수 \(a\) 의 최솟값을 \(a_n\) 이라 하자. (가) \(f(a)=n-1\) (나) \(g(a)>g(na)\) \(a_2 +a_3 + \dfrac{a_5}{a_4}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(392\)