벡터 종점의 자취_난이도 중상 (2022년7월 전국연합 고3 기하 29번)

평면 위에 한 변의 길이가 $6$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 의 무게중심 $\rm O$ 에 대하여 $\overrightarrow {\rm OD} = \dfrac{3}{2} \overrightarrow{\rm OB} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm OC}$ 를 만족시키는 점을 $\rm D$ 라 하자. 선분 $\rm CD$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\left | 2 \overrightarrow{\rm PA} + \overrightarrow{\rm PD} \right |$ 의 값이 최소가 되도록 하는 점 $\rm P$ 를 $\rm Q$ 라 하자. $\left | \overrightarrow{\rm OR} \right |=\left | \overrightarrow{\rm OA} \right |$ 를 만족시키는 점 $\rm R$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm QA} \cdot \overrightarrow{\rm QR}$ 의 최댓값이 $p+q\sqrt{93}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.)

정답 $15$