벡터 종점의 자취&벡터의 합_난이도 상 (2022년 6월 평가원 고3 기하 30번)

좌표평면에서 한 변의 길이가 $4$ 인 정육각형 $\rm{ABCDEF}$의 변 위를 움직이는 점 $\rm {P}$ 가 있고, 점 $\rm {C}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 가 있다. 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 실수 $k$ 에 대하여 점 $\rm X$가 다음 조건을 만족시킬 때, $\left | \overrightarrow{\rm CX} \right |$ 의 값이 최소가 되도록 하는 $k$ 의 값을 $\alpha$, $\left | \overrightarrow{\rm CX} \right |$ 의 값이 최대가 되도록 하는 $k$ 의 값을 $\beta$ 라 하자.

 

(가) $\overrightarrow{\rm CX} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm CP} + \overrightarrow{\rm CQ}$

(나) $\overrightarrow{\rm XA} + \overrightarrow{\rm XC} + 2 \overrightarrow{\rm XD} = k \overrightarrow{\rm CD}$

 

$\alpha^2 + \beta^2$ 의 값을 구하시오.

정답 $8$