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목록기하 - 문제풀이/평면벡터 (51)
수악중독
좌표평면의 네 점 $\mathrm{A(2, \; 6), \; B(6, \; 2), \; C(4, \; 4), \; D(8, \; 6)}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $\mathrm{X}$ 의 집합을 $S$ 라 하자. (가) $ \mathrm{ \left \{ \left ( \overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OD} \right ) \cdot \overrightarrow{OC} \right \} \times \left \{ \left | \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OC} \right | - 3 \right \} =0}$ (나) 두 벡터 $\mathrm{\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OP}..
직선 $2x+y=0$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 와 타원 $2x^2+y^2=3$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 $$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$$ 를 만족시키고, $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 $0$ 이상인 모든 점 $\mathrm{X}$ 가 나타내는 영역의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $13$
좌표평면에서 포물선 $y^2=2x-2$ 의 꼭짓점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 이 포물선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 와 양의 실수 $k$ 에 대하여 $$\overrightarrow{\mathrm{OX}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \dfrac{k}{\left | \overrightarrow{\mathrm{OP}} \right |} \overrightarrow{\mathrm{OP}}$$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{X}$ 가 나타내는 도형을 $C$ 라 하자. 도형 $C$ 가 포물선 $y^2=2x-2$ 와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$ 의 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $m^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는..
좌표평면에서 점 $\mathrm{A}(2, \; 2)$ 와 벡터 $\overrightarrow{u} = (2, \; 1)$ 에 대하여 $$\mathrm{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}} + t \overrightarrow{u} \; (t\text{는 실수})$$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$ 가 나타내는 직선을 $l$ 이라 할 때, 포물선 $y^2=8x$ 에 접하고 직선 $l$ 에 평행한 직선을 $m$ 이라 하자. 두 직선 $l, \; m$ 의 $y$ 절편의 합은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③
중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위의 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에 대하여 $$\left | 3 \mathrm{\overrightarrow{OA}+2 \overrightarrow{OB}} \right | = \sqrt{5}$$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{8}$ ④ $\dfrac{\sqrt{5}}{7}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{5}}{6}$ 더보기 정답 ⑤
한 평면 위에 있는 서로 다른 네 점 $\mathrm{A, \; B, \; C, \; D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right | = 6$ (나) $\mathrm{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} = 0}$ 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 $$\mathrm{2 \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + 5 \overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC}}$$ 일 때, $\left | \m..
그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 와 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 두 점 $\mathrm{D, \; E}$ 를 지름의 양 끝점으로 하고 두 선분 $\mathrm{AB, \; AC}$ 와 각각 점 $\mathrm{F, \; G}$ 에서 접하는 반원이 있다. 반원의 호 위의 점 $\mathrm{P}$ 중에서 $\mathrm{\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF}}$ 의 값이 최소가 되는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P'}$ 이라 하고, 반원의 중심 $\mathrm{O}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{OP'}$ 이 선분 $\mathrm{AC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\..
좌표평면 위의 점 $(2, \; 1)$ 을 지나고 벡터 $\overrightarrow{n}=(3, \; 2)$ 에 수직인 직선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{16}{3}$ ② $\dfrac{17}{3}$ ③ $6$ ④ $\dfrac{19}{3}$ ⑤ $\dfrac{20}{3}$ 더보기 정답 ①
한 변의 길이가 $3$ 인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 내접원의 중심을 $\mathrm{O}$ 라 하자. 변 $\mathrm{BC}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 가 다음을 만족시킬 때, 점 $\mathrm{X}$ 가 나타내는 도형의 길이는? (가) $\mathrm{\overrightarrow{OX}=2 \overrightarrow{OP}}$ (나) $\mathrm{\left | \overrightarrow{OP} \right | \le \left | \overrightarrow{BP} \right |}$ ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④
좌표평면 위의 점 $\mathrm{A} \left ( \sqrt{3}, \; 1 \right )$ 에서 원 $x^2+y^2=1$ 에 그은 접선 중 기울기가 양수인 직선을 $l$ 이라 하자. 직선 $l$ 위의 점 $\mathrm{B}$ 에 대하여 $\mathrm{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}=0$ 이 되는 점 $\mathrm{B}$ 를 $\mathrm{B}(\alpha, \; \beta)$ 라 할 때, $\alpha^2 + \beta^2$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $1$ ④ $\dfrac{4}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{3}$ 더보기 정답 ④