벡터 내적의 활용_난이도 상 (2024년 6월 평가원 고3 기하 28번)

 

 

좌표평면에서 두 점 $\mathrm{A}(1, \; 0)$, $\mathrm{B}(1, \; 1)$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 가 $\left | \overrightarrow{\mathrm{OP}} \right |=1, \quad \left | \overrightarrow{\mathrm{BQ}} \right | =3, \quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QP}} \right )=0$ 을 만족시킨다. $\left | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right |$ 의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, $\left | \overrightarrow{\mathrm{AP}} \right | >0$ 이다.)

 

① $\dfrac{6}{5}$          ② $\dfrac{9}{5}$          ③ $\dfrac{12}{5}$          ④ $3$          ⑤ $\dfrac{18}{5}$

 

정답 ③