수악중독

그림은 왼쪽의 입력 신호 \(a, \;b\) 를 오른쪽으로 전달하여 신호를 출력하는 장치를 나타낸 것이다. 이 장치가 [그림1]과 같이 출력할 확률은 \(\displaystyle \frac{1}{3}\) 이고, [그림2]와 같이 출력할 확률은 \(\displaystyle \frac{2}{3}\) 이다. 이 장치 \(4\) 개를 아래 그림과 같이 연결하고, 입력신호를 \(1,\;2,\;3,\;4\) 로 하였을 때의 출력신호를 \(x,\;y,\;z,\;w\) 라 하자. 이 때, \(y=3\) 또는 \(z=1\) 일 확률은? (단, 각 장치들은 독립적으로 작동한다.) ① \(\displaystyle \frac{22}{81}\) ② \(\displaystyle \frac{23}{81}\) ③ \(\display..

다음은 \(n\) 이 소수일 때, \( _{2n} {\rm C} _n -2\) 는 \(n^2\) 의 배수임을 증명한 것이다. \((1+x)^{2n} = \sum \limits _{k=0}^{2n} {_{2n} {\rm C} _{k} x^k }\) 에서 \((가)\) 의 계수는 \(_{2n} {\rm C} _n \) 이다. 한편 \({\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {_n{{\rm{C}}_k}{x^k}} } \right)\left( {\sum\limits_{k = 0}^n {_n{{\rm{C}}_{n - k}}{x^{n - k}}} } \right)\) 따라서 \(_{2n}{{\rm{C}}..

\(8\) 등분된 원판에 \(\rm A,\; B,\; C,\; D,\; E,\; F\) 의 \(6\) 가지 색을 모두 사용하여 영역을 구분하려고 한다. 그림과 같이 \(\rm A,\; B\) 두 가지 색은 이미 칠해져 있을 때, 칠해져 있지 않은 영역에 칠할 수 있는 방법의 수를 구하시오. (단, 한 영역에는 한 가지 색을 칠하고, 회전하여 같은 경우에는 한 가지 방법으로 한다.) 정답 12

연속확률변수 \(X\) 가 갖는 값의 범위가 \(0 \le X \le 1\) 이고 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다. 확률변수 \(X\) 의 평균이 \({\rm E} (X) = {\displaystyle \frac{q}{p}} \) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 7

그림과 가이 다섯 개의 영역으로 나누어진 도형이 있다. 각 영역에 빨간색, 노란색, 파란색 중 한 가지 색을 칠하는데 인접한 영역은 서로 다른 색을 칠하여 구별하려고 한다. 칠할 수 있는 방법의 수를 구하시오. 정답 36

두 집합 \( X= \lbrace 1,\;2,\;3,\; \cdots ,\; m \rbrace,\;\;Y=\lbrace 1,\;2,\;3,\; \cdots ,\; n \rbrace \) 일 때, 함수 \(f\;:\;X\rightarrow\;Y\) 중 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f\)의 개수를 구하시오. \(a

과녁을 명중시킬 확률이 \(\displaystyle \frac{1}{4}\)인 철수가 과녁에 명중시킬 때까지 쏜 화살의 개수를 확률변수 \(X\)라고 할 때, 확률변수 \(X\)의 기댓값을 구하시오. 정답 4

\(3\) 문제가 차례로 주어지는 퀴즈대회에서 한 문제를 틀리면 다음 문제에 도전하지 못한 채 탈락하고, 세 문제를 모두 맞히면 상품을 받는다고 한다. 이 퀴즈대회에 출전한 경험이 있는 사람들을 대상으로 조사했더니, 첫 번째 문제를 맞힐 확률은 \(60\%\), 두 번째 문제에 도전했을 때 그 문제를 맞힐 확률은 \(40\%\) 이었고, 세 번째 문에제 도전했을 때 그 문제를 맞힐 확률은 \(p\%\) 이었다. 이 퀴즈대회에 출전했던 사람 중에서 한 명을 임의로 택할 때, 이 사람이 세 번째 문제에서 탈락했을 확률은 두 번째 문제에서 탈락했을 확률의 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 배와 같다고 한다. 이 때, 자연수 \(p\) 의 값을 구하시오. 정답 25

\(A,\;B\)를 포함하여 \(8\)개의 팀이 출전한 축구대회가 토너먼트 형식으로 진행된다. 이 경기에서 각 팀이 이길 확률은 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)로 동일하다고 할 때, \(A\)팀이 우승, \(B\) 팀이 준우승을 하게 될 확률을 구하면 \(\displaystyle \frac{q}{p}\)라고 한다. \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\)는 서로소인 자연수이다.) 정답 65

수열 \(\{a_n\}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. \(S_n\)이 다음과 같다고 할 때, \(a_6\) 의 값을 구하시오. \[{S_n} = {}_n{{\rm{C}}_1} + {}_n{{\rm{C}}_2} \cdot 2 + {}_n{{\rm{C}}_3} \cdot {2^2} + {}_n{{\rm{C}}_4} \cdot {2^3} + \cdots + {}_n{{\rm{C}}_n} \cdot {2^{n - 1}}\] 정답 243