미적분과 통계기본_이항정리_이항계수_난이도 상

다음은 $n$ 이 소수일 때, $_{2n} {\rm C} _n -2$ 는 $n^2$ 의 배수임을 증명한 것이다.

 

$(1+x)^{2n} = \sum \limits _{k=0}^{2n}  {_{2n} {\rm C} _{k} x^k }$ 
에서 $(가)$ 의 계수는 $_{2n} {\rm C} _n$ 이다.
한편  ${\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {_n{{\rm{C}}_k}{x^k}} } \right)\left( {\sum\limits_{k = 0}^n {_n{{\rm{C}}_{n - k}}{x^{n - k}}} } \right)$
따라서  $_{2n}{{\rm{C}}_n} = {\left( {_n{{\rm{C}}_0}} \right)^2} + {\left( {_n{{\rm{C}}_1}} \right)^2} + {\left( {_n{{\rm{C}}_2}} \right)^2} +  \cdots  + {\left( {_n{{\rm{C}}_n}} \right)^2}$ 이다.
그런데 $n$ 이 소수이므로 $(다)$ 인 자연수 $k$ 에 대하여 $_n{{\rm{C}}_k}$ 는 $n$ 의 배수이다.
따라서 $(다)$ 인 자연수 $k$ 에 대하여  ${\left( {_n{{\rm{C}}_k}} \right)^2}$ 은 $n^2$  의 배수이고 $_n{{\rm{C}}_0}{ = _n}{{\rm{C}}_n} = 1$ 이므로 $_{2n}{{\rm{C}}_n} - 2$ 는 $n^2$ 의 배수이다. 

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	$(가)$	$(나)$	$(다)$
$①$	$x^n$	$_n {\rm C} _{n-k}$	$1\le k\le n$
$②$	$x^n$	$_n {\rm C} _{n-k}$	$1\le k\le n-1$
$③$	$x^n$	$_{2n} {\rm C} _{n-k}$	$1\le k\le n$
$④$	$x^{2n}$	$_n {\rm C} _{n-k}$	$1\le k\le n-1$
$⑤$	$x^{2n}$	$_{2n} {\rm C} _{n-k}$	$1\le k\le n$

정답 ②