미적분과 통계기본_이항정리_이항계수_난이도 상

다음은 \(n\) 이 소수일 때, \( _{2n} {\rm C} _n -2\) 는 \(n^2\) 의 배수임을 증명한 것이다.

 

\((1+x)^{2n} = \sum \limits _{k=0}^{2n}  {_{2n} {\rm C} _{k} x^k }\) 
에서 \((가)\) 의 계수는 \(_{2n} {\rm C} _n \) 이다.
한편  \({\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {_n{{\rm{C}}_k}{x^k}} } \right)\left( {\sum\limits_{k = 0}^n {_n{{\rm{C}}_{n - k}}{x^{n - k}}} } \right)\)
따라서  \(_{2n}{{\rm{C}}_n} = {\left( {_n{{\rm{C}}_0}} \right)^2} + {\left( {_n{{\rm{C}}_1}} \right)^2} + {\left( {_n{{\rm{C}}_2}} \right)^2} +  \cdots  + {\left( {_n{{\rm{C}}_n}} \right)^2}\) 이다.
그런데 \(n\) 이 소수이므로 \((다)\) 인 자연수 \(k\) 에 대하여 \(_n{{\rm{C}}_k}\) 는 \(n\) 의 배수이다.
따라서 \((다)\) 인 자연수 \(k\) 에 대하여  \({\left( {_n{{\rm{C}}_k}} \right)^2}\) 은 \(n^2\)  의 배수이고 \(_n{{\rm{C}}_0}{ = _n}{{\rm{C}}_n} = 1\) 이므로 \(_{2n}{{\rm{C}}_n} - 2\) 는 \(n^2\) 의 배수이다. 

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	\[(가)\]	\[(나)\]	\[(다)\]
\[①\]	\[x^n\]	\[ _n {\rm C} _{n-k}\]	\[1\le k\le n\]
\[②\]	\[x^n\]	\[ _n {\rm C} _{n-k}\]	\[1\le k\le n-1\]
\[③\]	\[x^n\]	\[ _{2n} {\rm C} _{n-k}\]	\[1\le k\le n\]
\[④\]	\[x^{2n}\]	\[ _n {\rm C} _{n-k}\]	\[1\le k\le n-1\]
\[⑤\]	\[x^{2n}\]	\[ _{2n} {\rm C} _{n-k}\]	\[1\le k\le n\]

정답 ②