수악중독

모표준편차가 $3$ 으로 알려진 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 $10$ 인 표본을 임의 추출하여 모평균 $m$ 에 대한 신뢰도 $95 \%$ 의 신뢰구간을 구하는 추정을 반복한다. $n$ 번째 추정에서 얻은 신뢰구간을 $I_n$ 이라 할 때, 수열 $\{a_n\}$ 을 다음과 같이 정의하자. ${a_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}2&{\left( {m \in {I_n}} \right)}\\0&{\left( {m \notin {I_n}} \right)}\end{array}} \right.$ $S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k$ 라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{100S_n}{n}\..

$2$ 개의 불량품을 포함한 $n$ 개의 제품 중에서 비복원추출하여 임의로 $1$개씩을 뽑아 검사할 때, 제$X$ 번째에 두 번째 불량품이 나왔다. $X$ 의 평균을 ${\rm E}(X)$ 라고 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ \dfrac{18}{n} {\rm E}(X) \right \}$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$

두 개의 주사위를 $200$ 회 던질 때, 매회 두 눈의 순의 곱이 $a$ 이하로 나오면 $2$ 점씩 받기로 하였다. 받는 점수의 총점의 평균과 분산을 각각 $m, \; \sigma ^2$ 이라 할 때, $\sigma ^2 = \dfrac{14}{9}m$ 이 성립하기 위한 상수 $a$ 의 값은? ① $4$ ② $6$ ③ $8$ ④ $10$ ⑤ $15$ 정답 ①

확률변수 $X$ 가 정규분포 ${\rm N}(m, \;1)$ 을 따를 때, ${\rm P}(X \leq 0)=f(m)$ 이라 하자. 다음 중 $m$ 에 관한 함수 $y=f(m)$ 의 그래프의 개형으로 적당한 것은? 정답 ③

각 면에 $1,\;2,\;3,\;4$ 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 네 번 던질 때 밑면에 적힌 수가 $1$ 이 나오는 횟수를 $a$ , $2$ 가 나오는 횟수를 $b$ 라 하자. $a-b=1$ 일 확률이 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $39$

어떤 모집단에서 모비율을 $p$, 크기가 $n$ 인 표본을 임의로 추출한 표본비율을 $\hat{p}$ 이라 한다. $p=0.9$ 일 때, $0.81 \leq \hat{p} \leq 0.99$ 인 확률이 $0.99$ 이상이 되도록 하는 $n$ 의 최솟값을 구하시오. (단, ${\rm P} \left ( | p- \hat{p} | \leq 3 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \right ) = 0.99$ 이다.) 정답 $100$

이산확률변수 $X$ 의 확률질량함수가 ${\rm P}(X=x)=p\times (1-p)^x \;\; (x=1, \;2,\;3,\;\cdots)$ 이다. 다음은 ${\rm E}(X)$ 와 ${\rm V}(X)$ 를 구하는 과정이다. 주어진 식에서 \( \begin{aligned} {\rm E}(X) &= \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ px \times (1-p)^x \right \} \\&= (1-p) \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ \dfrac{x-1}{1-p} -x \right \} (1-p)^x + (가) \\ &= \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ (x-1)(1-p)^x -x(1-p)^{x+1} \right \} +(가) \\..

$7$ 명이 학생 $\rm A, \;B,\;C,\;D,\;E,\;F,\;G$ 가 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 $\alpha$ 이다. 또한 $\rm A,\;B,\;C$ 는 서로 이웃하지 않고, $\rm D, \;E$ 도 서로 이웃하지 않도록 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 $\beta$ 이다. 이때, $\alpha+\beta$ 의 값을 구하시오. 정답 $840$

다음 조건을 만족시키는 이차정사각행렬 $A$ 의 개수를 구하시오. (가) 행렬 $A$ 는 역행렬을 갖지 않는다.(나) 행렬 $A$ 의 성분은 집합 $\{1, \;2,\;3\}$ 의 원소이다. 정답 $15$

닫힌 구간 $[0,\;1]$ 에서 정의된 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 연속이다. 확률변수 $X$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 $k$ 의 값은? (가) $0 \leq x \leq a$ 인 모든 $x$ 에 대하여 ${\rm P}(0 \leq X \leq x)=kx^2$ 이다. (나) ${\rm E}(x)=1$ ① $\dfrac{9}{16}$ ② $\dfrac{4}{9}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{9}$ ⑤ $\dfrac{1}{16}$ 더보기 정답 ②