적분과 통계_이산확률분포의 평균과 분산_난이도 상

이산확률변수 $X$ 의 확률질량함수가 ${\rm P}(X=x)=p\times (1-p)^x \;\; (x=1, \;2,\;3,\;\cdots)$ 이다. 다음은 ${\rm E}(X)$ 와 ${\rm V}(X)$ 를 구하는 과정이다.

 

주어진 식에서

$\begin{aligned} {\rm E}(X) &= \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ px \times (1-p)^x \right \}  \\&= (1-p) \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ \dfrac{x-1}{1-p} -x \right \} (1-p)^x + (가) \\ &= \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ (x-1)(1-p)^x -x(1-p)^{x+1} \right \} +(가) \\ &= (가) \end{aligned}$ 

이다. 마찬가지 방법으로

$\begin{aligned} {\rm E}(X^2) &= \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ px^2 \times (1-p)^x \right \}  \\&= (1-p) \sum_{x=1}^{\infty} \left \{ \dfrac{(x-1)^2}{1-p} -x^2 \right \} (1-p)^x + (나) \\ &= (나) \end{aligned}$

이다. 따라서 

${\rm V}(X)={\rm E }\left ( X^2 \right ) - \left \{ {\rm E}(X) \right \} ^2$

이므로

${\rm V}(X)=(다)$

이다. 

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(p),\; g(p), \; h(p)$ 라 할 때, $f \left (\dfrac{1}{3} \right ) + g \left ( \dfrac{1}{4} \right ) - h \left ( \dfrac{1}{2} \right )$ 의 값은?

 

① $17$          ② $18$          ③ $19$          ④ $20$          ⑤ $21$         

 

 

정답 ⑤