수악중독

\(0

좌표평면에서 함수 \(f(x)=\sqrt{3} \ln x\) 의 그래프와 직선 \(l\;:\; y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 이 있다. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 서로 다른 두 점 \({\rm A}(\alpha, \; f(\alpha)), \; {\rm B}(\beta, \; f(\beta))\) 에서의 접선을 각각 \(m, \;n\) 이라 하자. 세 직선 \(l,\;m,\;n\) 으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, \(6(\alpha + \beta)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)

양수 \(a\) 와 두 실수 \(b, \;c\) 에 대하여 함수 \(f(x)= \left ( ax^2 +bx+c \right ) e^x\) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(x)\) 는 \(x=-\sqrt{3}\) 과 \(x=\sqrt{3}\) 에서 극값을 갖는다.(나) \(0 \le x_1 < x_2\) 인 임의의 두 실수 \(x_1 , x_2\) 에 대하여 \(f(x_2) - f(x_1) +x_2 -x_1 \ge 0\) 이다. 세 수 \(a, \;b, \;c\) 의 곱 \(abc\) 의 최댓값을 \(\dfrac{k}{e^3}\) 라 할 때, \(60k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(15\) 평균값의 정리에 대한 개념이 있는 분이라면 \(\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_..

수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치 \(x(t)\) 가 \[x(t)=t+\dfrac{20}{\pi ^2} \cos (2\pi t)\] 이다. 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t=\dfrac{1}{3}\) 에서의 가속도의 크기를 구하시오. 정답 \(40\)

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{e^x} + k}&{\left( {x \ge 0} \right)}\\{ - {x^2}}&{\left( {x < 0} \right)}\end{array}} \right.\) 가 다음 조건을 만족하도록 하는 정수 \(k\) 의 개수는? (가) 함수 \(g(x)\) 는 모든 실수에서 연속이다. (나) 함수 \(g(x)\) 는 미분가능하지 않은 점이 \(2\) 개다. ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ①

그림과 같이 원점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(10\) 인 원이 있다. 직선 \(y= \sqrt{3} x\) 와 원이 제1사분면에서 만나는 점을 \(\rm A\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 는 원점 \(\rm O\) 를 출발하여 \(x\) 축을 따라 양의 방향으로 매초 \(2\) 의 일정한 속력으로 움직인다. 점 \(\rm P\) 가 원점 \(\rm O\) 를 출발하여 \(t\) 초가 되는 순간, 점 \(\rm P\) 를 지나고 직선 \(y=\sqrt{3}x\) 에 평행한 직선이 제1사분면에서 원과 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 하자. 세 선분 \(\rm AO, \; OP, \; PQ\) 와 호 \(\rm QA\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S\)라 할 때, 점 \..

그림과 같이 직선 \(x=-1\) 위의 점 \(\rm P\), 직선 \(x=3\sqrt{3}\) 위의 점 \(\rm Q\), 원점 \(\rm O\) 에 대하여 \(\angle \rm POQ=\dfrac{\pi}{2}\) 이다. 직선 \(x=3\sqrt{3}\) 이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm R\) 라 하고, \(\angle \rm QOR = \theta\) 라 할 때, \(\overline{\rm OP} + \overline{\rm OQ}\) 의 최솟값을 구하시오. (단, 점 \(\rm P, \;Q\) 의 \(y\) 좌표는 양수이다.) 정답 \(8\)

그림과 같이 지점 \(\rm P\) 에서 서로 수직으로 만나는 두 직선 도로가 있다. 두 직선 도로 \(\rm PA, \; PB\) 에서 각각 \(\rm 16 km ,\;2km\) 떨어진 마을을 지나고 두 직선 도로를 연결하는 새직선 도로를 건설하려고 한다. 새 직선 도로와 도로 \(\rm PA\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라고 할 때, 새 직선 도로의 길이가 최소이기 위한 \(\tan \theta\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(\sqrt{5}\) ④ \(\sqrt{6}\) ⑤ \(2\sqrt{2}\) 정답 ②

지점 \(\rm O\) 와 지점 \(\rm E\) 사이의 거리는 \(40\rm m\) 이다. 오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 \(\rm O\) 에서 출발하여 선분 \(\rm OE\) 에 수직인 반직선 \(\rm OS\) 를 따라 초속 \(3 \rm m\) 의 일정한 속력으로 달리고 을은 갑이 출발한 지 \(10\) 초가 되는 순간 지점 \(\rm E\) 에서 출발하여 선분 \(\rm OE\) 에 수직인 반직선 \(\rm EN\) 을 따라 초속 \(\rm 4m \) 의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 \(\rm OE\) 가 만나서 이루는 각을 \(\theta\)(라디안)라 할 떄, 갑이 출발한 지 \(20\) 초가 되는 순간 \(\theta\) 의 변화율은? ① \..

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=f(x) \ln x^4\] 이라 하자. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((e, \;-e)\) 에서의 접선과 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((e, \;-4e)\) 에서의 접선이 서로 수직일 때, \(100f'(e)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(50\)