수악중독

$0 \le t \le 2 \pi$ 인 실수 $t$ 에 대하여 함수 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\sqrt 3 x + \sin 2x + k}&{\left( {0 \le x < t} \right)}\\{\sqrt 3 x + \sin 2x}&{\left( {t \le x \le 2\pi } \right)}\end{array}} \right.$$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 열린 구간 $(0, \; 2\pi)$ 에서 함수 $g(t)$ 의 미분가능하지 않은 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값은 $p\sqrt{3}\pi +q$ 이다. $24 \times (p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $0

실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=-x+t+1$ 이 두 곡선 $y=\ln x, \; y=e^x$ 과 만나는 점을 각각 $\rm P, \; Q$ 라 하고, 두 점 $\rm P, \; Q$ 의 $x$ 좌표를 각각 $f(t), \; g(t)$ 라 하자. 두 함수 $f(t), \; g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\dfrac{k}{p}$ 의 값은? (가) $\lim \limits_{t \to e} f(t)=e \;\;(f(t)>0)$(나) $\lim \limits_{t \to e} \dfrac{(t+1)g(t)-k}{f(t)-e}=p$ (단, $k, \; p$ 는 상수) ① $e$ ② $\dfrac{e}{2}$ ③ $\dfrac{e}{3}$ ④ $\dfrac{e}{4}$ ⑤ $\dfrac{e}{5}$..

매개변수 $t\;(t>0)$ 으로 나타내어진 함수 $$x= t- \dfrac{2}{t}, \;\; y=t^2 + \dfrac{2}{t^2}$$ 에서 $t=1$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $-\dfrac{2}{3}$ ② $-1$ ③ $-\dfrac{4}{3}$ ④ $-\dfrac{5}{3}$ ⑤ $-2$ 정답 ①

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 가 있다. 변 $\rm CD$ 위의 점 $\rm E$ 에 대하여 선분 $\rm DE$ 를 지름으로 하는 원과 직선 $ \rm BE$ 가 만나는 점 중 $\rm E$ 가 아닌 점을 $\rm F$ 라 하자. $\rm \angle EBC = \theta$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 를 포함하지 않는 호 $\rm DF$ 를 이등분하는 점과 선분 $\rm DF$ 의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to \frac{\pi}{4}-} \dfrac{r(\theta)}{\dfrac{\pi}{4}-\theta}$ 의 값은? (단, $0 < \theta < \..

함수 $f(x)=2x+ \sin x$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(4 \pi, \; 2 \pi)$ 에서의 접선의 기울기는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $4$

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $$g(x)=|2 \sin (x+2|x|)+1|$$ 에 대하여 함수 $h(x)=f(g(x))$ 는 실수 전체의 집합에서 이계도 함수 $h''(x)$ 를 갖고, $h''(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. $f'(3)$ 의 값을 구하시오. 정답 $48$

$a>1$ 인 상수 $a$ 에 대하여 두 곡선 $y=a^x$ 과 $y= \left(\dfrac{1}{2} \right ) ^{x-2}$ 이 점 $\rm P$ 에서 만난다. 점 $\rm P$ 에서 $y=a^x$ 과 접하는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm A$, 점 $\rm P$ 에서 $y=\left( \dfrac{1}{2} \right )^{x-2}$ 과 접하는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. $3 \overline{\rm AH}=\overline{\rm BH}$ 일 때, $a$ 의 값은? ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$ 정답 ⑤

좌표평면에서 함수 $f(x)=(\ln x)^2- \ln x$ 에 대하여 원점과 곡선 $ y=f(x)$ 위의 점 $\left ( t, \; f(t) \right )$ 를 이은 직선이 이 곡선과 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=a_1$, $t=a_2$, $t=a_3$, $t=a_4$, $t=a_5$ $(a_1

미분가능한 함수 $f(x)$ 와 $f(x)$ 의 역함수 $g(x)$ 가 $g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} \right) = x$ 를 만족시킬 때, 다음은 $g' \left ( \dfrac{1}{2} \right )$ 의 값을 구하는 과정이다. $g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x +e^{2x}} \right ) =x$ 에서$3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} = g^{-1}(x)$ 이므로 $f(x)=\dfrac{1}{(가)}$이다.$f(x)$ 의 도함수를 구하면 $f'(x)=\dfrac{-e^x-2e^{2x}}{(가)^2}$이다. $f(0)=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $g \left (\dfrac{1}{2} \right ) = 0$..

두 함수 $f(x)=\ln x, \; g(x)=\ln \dfrac{1}{x}$ 의 그래프가 만나는 점을 $\rm P$ 라 할 때 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 점 $\rm P$ 의 좌표는 $(1, \;0)$ 이다.ㄴ. 두 곡선 $y=f(x), \; y=g(x)$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 각각의 접선은 서로 수직이다.ㄷ. $t>1$ 일 때, $ -1 < \dfrac{f(t)g(t)}{(t-1)^2}