수악중독

그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원의 둘레를 $n \;(n \ge 4)$ 등분한 점을 $\rm A_1, \; A_2, \; \cdots, \; A_{\it n}$ 이라 하자. 호 ${\rm A}_i {\rm A}_{i+1}(i=1, \;2, \; \cdots, \; n)$ 을 이등분한 점을 ${\rm M}_i$라 하고, 사각형 ${\rm A}_i{\rm M}_i {\rm A}_{i+1}{\rm N}_i$ 가 마름모가 되도록 하는 선분 ${\rm OM}_i$ 위의 점을 ${\rm N}_i$ 라 하자. $n$ 개의 사각형 $\rm A_1M_1A_2N_1$, $\rm A_2M_2A_3N_2$, $\rm A_3M_3A_4N_3$, $\cdots$, ${\rm A}_n{\rm M..

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x) \ne 1$(나) $f(x)+f(-x)=0$ (다) $f'(x)=\{1+f(x)\}\{1+f(-x)\}$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ne -1$ 이다.ㄴ. 함수 $f(x)$ 는 어떤 열린 구간에서 감소한다.ㄷ. 곡선 $y=f(x)$ 는 세 개의 변곡점을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ①

좌표평면에서 $x, \; y$ 에 대한 연립부등식 $$\left\{ {\begin{array}{ll}{x \ge 0}\\{y \ge \left| {{e^x} - 2} \right|}\end{array}} \right.$$ 가 나타내는 영역을 $D$ 라 하자. 양의 실수 $t$ 에 대하여 영역 $D$ 의 서로 다른 네 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 정사각형 $A$ 의 한 변의 길이는 $t$ 이다. (나) 정사각형 $A$ 의 한 변은 $x$ 축과 평행하다. 정사각형 $A$ 의 두 대각선의 교점의 $y$ 좌표의 최솟값을 $f(t)$ 라 할 때, $f'(\ln2)+f'(\ln 5)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는..

양의 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y= \ln x$ 위의 두 점 ${\rm P}(t, \; \ln t)$, ${\rm Q}(2t, \; \ln 2t)$ 에서의 접선이 $ x$ 축과 만나는 점을 각각 ${\rm R}(r(t), \; 0)$, ${\rm S}(s(t), \; 0) $ 이라 하자. 함수 $ f(t)$ 를 $f(t)=r(t)-s(t)$ 라 할 때, 함수 $f(t)$ 의 극솟값은? ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{1}{3}$ ③ $-\dfrac{1}{4}$ ④ $-\dfrac{1}{5}$ ⑤ $-\dfrac{1}{6}$ 정답 ③

함수 $f(x)=xe^{-2x+1}$ 에 대하여 함수 $$g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl}{f(x) - a}&{(x > b)}\\0&{\left( {x \le b} \right)}\end{array}} \right.$$ 가 실수 전체에서 미분가능할 때, 두 상수 $a,\; b$ 의 곱 $ab$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{10}$ ② $\dfrac{1}{8}$ ③ $\dfrac{1}{6}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 정답 ④

다음은 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2x-1 \ge ke^{x^2}$ 을 성립시키는 실수 $k$ 의 최댓값을 구하는 과정이다. $f(x)=(2x-1)e^{-x^2}$ 이라 하자. $f'(x)=(가)\times e^{-x^2}$$f'(x)=0$ 에서 $x=-\dfrac{1}{2}$ 또는 $x=1$함수 $f(x)$ 의 증가와 감소를 조사하면함수 $f(x)$ 의 극솟값은 $(나)$ 이다.또한 $\lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0, \; \lim \limits_{x \to - \infty} f(x)=0$ 이므로함수 $y=f(x)$ 의 그래프의 개형을 그리면함수 $f(x)$ 의 최솟값은 $(나)$ 이다.따라서 $2x-1 \ge k e^{x^2}$ 을 성립시키는 실수 $k$ 의 최댓값은..

함수 $f(x)=x^2 e^{ax}\; (a0)$ 을 만족시키는 $x$ 의 최댓값을 $ g(t)$ 라 정의하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=\dfrac{16}{e^2}$ 에서 불연속일 때, $100a^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = 0$) 정답 $25$

함수 $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f'(0)=1$ㄴ. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge -\dfrac{1}{2}$ 이다.ㄷ. $0

한 변의 길이가 \(12\sqrt{3}\) 인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 \(3\sqrt{3}\) 씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가 \(24\sqrt{3}\) 이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 \(a \pi\) 이다. 이때, 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(36\)

함수 \( f(x)=x(x+1)(x-4)\) 에 대하여 직선 \( y=5x+k\) 와 함수 \( y=f(x)\) 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 양수 \(k\) 의 값은? ① \(5\) ② \(\dfrac{11}{2}\) ③ \(6\) ④ \(\dfrac{13}{2}\) ⑤ \(7\) 정답 ①