수악중독

함수 $f(x)=(x-1)|x-a|$ 의 극댓값이 $1$ 일 때, $\displaystyle \int_0^4 f(x) dx$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{4}{3}$ ② $\dfrac{3}{2}$ ③ $\dfrac{5}{3}$ ④ $\dfrac{11}{6}$ ⑤ $2$ 정답 ①

함수 $f(x)=x^3-12x$ 와 실수 $t$ 에 대하여 점 $(a, \; f(a))$ 를 지나고 기울기가 $t$ 인 직선이 함수 $y=|f(x)|$ 의 그래프와 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $g(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속이 되는 $k$ 의 값 중에서 가장 작은 값은 $0$ 이다. $\sum \limits_{n=1}^{36} g(n)$ 의 값을 구하시오. 정답 $82$

양의 실수 $k$ 와 함수 $f(x)=ax(x-b)$ ($a, \; b$ 는 자연수)에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\begin{cases}f(x) & (x

상수 $a, \; b$ 에 대하여 삼차함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(-1)>-1$(나) $f(1)-f(-1)>8$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 방정식 $f'(x)=0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.ㄴ. $-1

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 정의역이 $\{x \; | \;x \ge 0\}$ 인 함수 $$f(x)=\dfrac{-ax-b+1}{ax+b}\;\; (ab>0)$$ 이 있다. 실수 $k$ 에 대하여 정의역이 $\{ x \; | \; x \ge 0\}$ 인 함수 $g(x) = \begin{cases} 2k-f(x) & (f(x) \dfrac{1}{28}$) 직선 $y=m(x-4\alpha)+\dfrac{3}{4}$ 이 함수 $y=|g(x)|$ 의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(m)$ 이라 할 때, 함수 $h(m)$ 이 불연속이 되는 모든 실수 $m$ 의 값의 합은 $M$ 이다. $252M$ 의 값을 구하시오. 정답 $19$

자연수 $n$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 이 $a_1=5, \; 2a_{n+1}=a_n+1$ 을 만족할 때, 수열 $\{b_n\}$ 을 $b_n = 4-a_n$ 으로 정의한다. 수열 $\{b_n\}$ 에 대하여 구간 $[-1, \; 3)$ 에서 정의되고, 열린구간 $(-1, \; 3)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) $f'(0)=-1, \; f(b_n)=f \left ( \dfrac{b_n+b_{n+1}}{2} \right ) = 0$(나) 구간 $[b_n,\; b_{n+1})$ 에서 함수 $f(x)$ 는 삼차함수의 일부이다. $-1

이 문제는 네이버 아이디 110615 님께서 출제하신 문제입니다. 110615님의 허락을 얻어 해설 영상을 올립니다. 해설 영상의 공유를 허락해주신 110615님께 감사의 말씀을 전합니다. 함수 $f(x)=-4x^3 + 6x -1$ 과 모든 실수 $m$ 에 대하여 방정식 $\displaystyle \int_0^x f(t)\; dt=mx$ 를 만족시키는 $x$ 의 최솟값과 최댓값을 각각 $g_1(m), \; g_2(m)$ 이라 하고, $g_1(m)

좌표평면에서 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 원점을 지나는 직선 $y=g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값 $27$ 을 갖는다.(나) 함수 $|f(x)-g(x)|$ 는 $x=-3$ 에서만 미분가능하지 않다.(다) 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=g(x)$ 는 서로 다른 두 점에서 만난다. 함수 $f(x)$ 의 극솟값을 구하시오. 정답 $23$

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm A}(2n, \; n+3)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선이 점 ${\rm B}(n, \; 0)$ 을 중심으로 하고 반지름이 길이가 $n$ 인 원에 접할 때, 이 직선이 원과 만나는 점을 $\rm C$, $y$ 축과 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 사각형 $\rm OBCD$ 의 둘레의 길이와 넓이를 각각 $l_n, \; S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{l_n \times S_n}{n^3}$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)정답 $4$

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$, $\overline{\rm B_1C_1}=3$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 을 삼등분하는 점 중에서 $\rm A_1$ 에 가까운 점부터 차례대로 $\rm E_1, \; F_1$ 이라 하고, 선분 $\rm B_1F_1$ 과 선분 $\rm C_1E_1$ 의 교점을 $\rm G_1$ 이라 하자. 삼각형 $\rm B_1G_1E_1$ 과 삼각형 $\rm C_1F_1G_1$ 의 내부에 색칠하여 얻은 그리을 $R_1$ 이라 하자.그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm B_1C_1$ 위에 두 꼭짓점 $\rm B_2, \; C_2$ 가 있고, 선분 $\rm B_1G_1$ 위에 꼭짓점 $\rm A_2$, 선분..