수악중독

실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 사차방정식 $(x-1) \left \{ x^2(x-3)-t \right \}=0$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $f(t)$ 라 하자. 다항함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x^4}=0$ (나) $g(-3)=6$ 함수 $f(t)g(t)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $g(1)$ 의 값은? ① $22$ ② $24$ ③ $26$ ④ $28$ ⑤ $30$ 정답 ⑤

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm P}_n \left ( n, \; n^2 \right ) $ 에서의 접선을 $l_n$ 이라 하고, 직선 $l_n$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 ${\rm Y}_n$ 이라 하자. $x$ 축에 접하고 점 ${\rm P}_n$ 에서 직선 $l_n$ 에 접하는 원을 $C_n$, $y$ 축에 접하고 점 ${\rm P}_n$ 에서 직선 $l_n$ 에 접하는 원을 $C'_n$ 이라 할 때, 원 $C_n$ 과 $x$ 축과의 교점을 ${\rm Q}_n$, 원 $C'_n$ 과 $y$ 축과의 교점을 ${\rm R}_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm OQ}_n}}{\overl..

두 함수 $$f(x)= \left \{ \begin{array}{ll} kx^2+2kx+2 & (x \ge -2) \\ -3x-4 & (x < -2) \end{array} \right ., \;\; g(x)=-x+a$$ 가 있다. 양의 실수 $a$ 에 대하여 방정식 $f(x)=g(x)$ 의 모든 실근의 합을 $h(a)$ 라 할 때, 함수 $h(a)$ 가 항상 연속이 되도록 하는 상수 $k$ 의 최솟값을 $p$ 라 하자. $120 \times \dfrac{1}{p^2}$ 의 값을 구하시오. 정답 $480$

실수 $t$ 에 대하여 정의역이 $\{x \; | \; 8 \le x \le 10\}$ 인 함수 $$f(x)=x^2-18x+2|x-t|+80$$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 또한 함수 $g(t)$ 에 대해서 함수 $h(t)$ 가 $$h(t)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+\{g(t)\}^{2n}}$$ 와 같이 정의된다고 하자. 함수 $h(t)$ 가 $t=a$ 에서 불연속이 될 때, 모든 실수 $a$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $27$

두 집합 $A=\{2l \;|\; l$ 은 자연수$\}$ , $B=\{2^m \; | \; m$ 은 자연수$\}$ 가 있다. 집합 $A$ 의 원소 $a$ 에 대하여 집합 $B$ 의 원소 중 $a$ 의 약수의 최댓값을 $M(a)$ 라 하자. 예를 들어, $M(2)=2, \; M(12)=4$ 이다. 수열 $\{a_n\}$ 을 $$a_n=\sum \limits_{k=1}^{2^{n-1}} M(2k)\;\; (n=1, \;2, \;3, \; \cdots )$$ 라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{150a_n}{(3n+1)\times 2^n}$ 의 값을 구하시오. 정답 $25$

함수 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^3+\dfrac{9}{2}x^2$ 위의 점 $(a, \; f(a))$ 에서의 접선의 방정식 $g(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)=\left \{ \begin{array}{cl} f(x) & (x

모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $g(x)$ 에 대하여 함수 $H(x)$ 를 $H(x)=\displaystyle \int_{g(x)}^{f(x)} f(t) \; dt$ 라고 할 때, 함수 $f(x), \; g(x), \; H(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $H(1)=0$(나) 함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)$ 가 만나는 모든 점의 $x$ 좌표 값은 정수이다.(다) $x

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 집합 $S=\{ \alpha$ | 함수 $|f(x)-t|$ 가 $x=\alpha$ 에서 미분가능하지 않다.$\}$ 가 있다. 집합 $S$ 의 원소의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $f(x)$ 와 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\log_2 \{f(a)\}, \; \log_2\{f(b)\}, \; \log_2\{f(c)\}$ 는 같은 자연수이고, $ac

함수 $f(x)$ 는 최고차항의 계수가 $-1$ 인 사차함수이고 다음의 조건을 만족한다. (가) $f'(a)=f'(b)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$(나) $a \le x_1 < x_2 \le b $ 인 임의의 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $f(x_1) \le f(x_2)$ 이다. (다) $b-a=4\sqrt{3}$ 이때, $f'(a)$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $64$

함수 $f(x)=x^3-6x^2$ 와 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $$g(x)=\left \{ \begin{array}{ll} f(x)-f(t) & (x