수악중독

좌표평면 위의 점 $\rm P$ 에서 곡선 $y=x^2$ 에 그은 두 접선을 각각 $l_1, \; l_2$ 라 하자. 곡선 $y=x^2$ 과 두 직선 $l_1, \; l_2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이가 $18$ 일 때, 점 $\rm P$ 가 나타내는 도형의 방정식을 $y=f(x)$ 라 하자. 두 곡선 $y=x^2, \; y=f(x)$ 와 두 직선 $x=0$, $x=10$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 곡선 $y=x^2$ 의 아래쪽에 있는 점이다.) 정답 $90$

함수 $f(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2}$ 과 실수 $t$ 에 대하여 $$f(t)=f'(a)(t-2)$$ 를 만족시키는 실수 $a$ 의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 불연속인 점의 개수는? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ②

실수 $t$ 에 대하여 정의역이 $\{x \; | \; -1 \le x \le 1\}$ 인 함수 $f(x)=\left | x^2-tx-2 \right |$ 의 최댓값을 $g(t)$ 라 하자. 또한 함수 $g(t)$ 에 대해서 함수 $h(t)$ 가 $$h(t)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+\{g(t-1)-3\}^{2n}}$$ 과 같이 정의된다고 하자. 함수 $h(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속이 될 때, 모든 실수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $3$

함수 $f(x)=x^3+3x^2$ 에 대하여 두 함수 $g(t), \; h(t)$ 를 다음과 같이 정의한다. (가) 임의의 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $[t-2, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최댓값이 $g(t)$ 이다.(나) 임의의 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $ [t, \; t+2]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값이 $h(t)$ 이다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 미분불가능하고, 함수 $h(t)$ 가 $t=\beta$ 에서 미분불가능할 때, $\alpha + \beta$ 의 값은? ① $-3$ ② $-\dfrac{5}{2}$ ③ $-2$ ④ $-\dfrac{3}{2}$ ⑤ $-1$ 정답 ③

닫힌구간 $[t, \; t+3]$ 에서 함수 $f(x)=x^3-7x^2+35$ 의 최댓값을 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $y=g(t)$ 가 미분가능하지 않은 점 $(s, \; g(s))$ 에 대하여 $s+g(s)$ 의 값을 구하시오. (단, $t$ 는 실수) 정답 $2$

최고차항의 계수가 $1$ 인 두 이차 다항함수 $f(x), \; h(x)$ 와 $g(x)= \displaystyle \int_a^{x-a} f'(t) \; dt$ (단, $a$ 는 양의 상수) 로 정의되는 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)-f(2b-x)=0$ 이다.(나) 방정식 $f(x)=0$ 의 두 실근의 차와 방정식 $g(x)=0$ 의 두 실근의 차는 모두 $b$ 이다. (단, $b$ 는 상수)(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\{f(x)+g(x)+M\}h(x)=2f(x)g(x)$ 가 성립한다. $M$ 의 최댓값이 $16$ 일 때, $f(2b)+g \left ( \dfrac{a}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $132$

$3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 점 ${\rm P}(x, \; y)$의 개수를 $a_n$ 이라 하자. (가) $x, \;y$ 는 모두 음이 아닌 정수이다.(나) 원점 $\rm O$ 에 대하여 $\overline{\rm OP} \le n$ 이다.(다) $2x-y\sqrt{n^2-4} \ge 0$ 이다. 예를 들어, $a_3=5, \; a_4=7$ 이다. $b_n = \sum \limits_{k=3}^{2n+2} a_k$ 라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3b_n-9n^2}{n+1}$ 의 값을 구하시오. 정답 $27$

실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 관한 방정식 $$\left (x^2-x \right ) \left ( x - (3t+1 ) \sqrt{x} +2t^2+t \right )=0$$ 의 서로 다른 실근의 합을 $f(t)$ 라고 하자. $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x^2}=1$ 인 다항함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 집합 $$\begin{array}{ll}A= \left \{ s \; \middle | \; \lim \limits_{t \to s}f(t) \ne f(s) \right \} \\ B=\left \{ s \; \middle | \; \lim \limits_{t \to s} \left | f(t)-f(\alpha) \right ..

사차함수 $f(x)=3x^4-4(a+1)x^3+6ax^2-a$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 $f(x)$ 의 극댓값은 양수이다.(나) 함수 $|f(x)|$ 의 미분 불가능한 점의 개수는 $2$개다. 이때, $a$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. 정답 $1$

수열 $\{a_n\}$ 을 다음과 같이 정의하자. 두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 $m-\dfrac{1}{2} < \sqrt{\dfrac{n}{3}} < m+ \dfrac{1}{2}$ 일 때, $a_n=m$ 이다. 예를 들어, $m=1$ 일 때, $1 \le n \le 6$ 이므로 $a_1=a_2=\cdots=a_6=1$ 이다.$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n\sqrt{n}} \sum \limits_{k=1}^n a_k = p$ 일 때, $81p^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$