수열의 극한_극한의 활용_난이도 중상 (2016년 11월 교육청 고2 나형 29번)

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm A}(2n, \; n+3)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선이 점 ${\rm B}(n, \; 0)$ 을 중심으로 하고 반지름이 길이가 $n$ 인 원에 접할 때, 이 직선이 원과 만나는 점을 $\rm C$, $y$ 축과 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 사각형 $\rm OBCD$ 의 둘레의 길이와 넓이를 각각 $l_n, \; S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{l_n \times S_n}{n^3}$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)

정답 $4$